一、选择题
1.(2017·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π C.42π D.36π
解析 法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.
将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分
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圆柱的体积加上上部分圆柱体积的2，所以该几何体的体积V＝π×3×4＋π×3×6×2＝63π.
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法二 (估值法)由题意知，2V圆柱 2.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( ) 解析 法一 对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项不正确. 图(1) 图(2) 法二 对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项不正确. 答案 A 3.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) 3π A.π B.4 ππC.2 D.4 解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为 1OM＝2. 3 ∴底面圆半径r＝OA2－OM2＝2， ?3?23π2 ??故圆柱体积V＝π·r·h＝π·×1＝4. ?2? 答案 B 4.(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A.10 C.14 B.12 D.16 1 解析 由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯＝2×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12. 答案 B 5.(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 12A.3＋3π 12C.3＋6π 12B.3＋3π 2 D.1＋6π 21 解析 由三视图知，半球的半径R＝2，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝3 ?2?31142 ×1×1×1＋2×3π×??＝3＋6π，故选C. ?2? 答案 C 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( ) A.62 B.42 C.6 D.4 解析 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝（42）2＋22＝6，选C. 答案 C 二、填空题 7.(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________. 解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10. 要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切.若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r. 11 则2×6×8＝2×(6＋8＋10)·r，所以r＝2. 2r＝4＞3，不合题意. 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大. 3 由2R＝3，即R＝2. 493 故球的最大体积V＝3πR＝2π. 9答案 2π 8.(2017·浙江东北教学联盟高三模拟)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m?α，n?β.有下列命题： ①若α∥β，则m∥n； ②若α∥β，则m∥β； ③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β； ④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β. 其中真命题是________(填序号). 解析 ①若α∥β，则m∥n或m，n异面，故①不正确； ②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，故②正确； ③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，故③不正确； ④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n相交，则α⊥β，故④不正确. 答案 ② 9.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK＝t，则t的取值范围是________. 解析 设DF＝x(1＜x＜2)，连接FK，则cos∠FAK＝cos∠DFA＝AK2－2AF·AKcos∠FAK＝1＋x2＋t2－21＋x2·t· x22 ，于是FK＝AF＋21＋x x22 ＝1＋x＋t－2tx.又在Rt△DKF中，21＋x 1?1? FK2＝DF2－DK2＝x2－(1－t2)，∴1＋x2＋t2－2tx＝x2－(1－t2)，∴t＝x∈?2，1?. ?? ?1? 答案 ?2，1? ?? 10.(2017·湖州质量检测)某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，外接球的表面积是________. 解析 由三视图得该几何体是一个底面为对角线长为4的正方形，高为3的直四棱柱，则其体 ?3?2152 积为4×4×2×3＝24.又直四棱柱的外接球的半径为R＝?2?＋2＝2，所以四棱柱的外接球 ?? 的表面积为4πR2＝25π. 答案 24 25π 11.(2017·温州模拟)某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________，表面积是________. 解析 由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面是边长为2的正方形，高为2，所以该几何体 181112 的体积V＝3×2×2＝3，表面积S＝2×2＋2×2×2＋2×2×22＋2×2×2×5＝6＋22＋25. 8 答案 3 6＋22＋25 三、解答题 12.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； 8 (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为3，求该四棱锥的侧面积. (1)证明 ∵∠BAP＝∠CDP＝90°， ∴AB⊥PA，CD⊥PD. ∵AB∥CD，∴AB⊥PD. 又∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD. ∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. (2)解 取AD的中点E， 连接PE.
2024届[步步高]高考数学专题复习讲义
