第1讲 空间几何体中的计算与位置关系
高考定位 1.以三视图和空间几何体为载体考查面积与体积，难度中档偏下；2.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题；空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问.
真 题 感 悟
1.(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
ππA.2＋1 B.2＋3 3π3πC.2＋1 D.2＋3
解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高
1112
为3，三棱锥的底面积为2×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V＝2×π×1×3×3＋
1π1×3×3＝2＋1. 答案 A
2.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
解析 由已知，α∩β＝l，∴l?β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确.故选C. 答案 C
3.(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下：
其体积V＝2×2×2×4＝32(cm)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm2). 答案 72 32
3
4.(2016·浙江卷)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________.
解析 设PD＝DA＝x，
在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， ∴AC＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC ＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23，
1
∴CD＝23－x，且∠ACB＝2(180°－120°)＝30°，
1111
∴S△BCD＝2BC·DC×sin∠ACB＝2×2×(23－x)×2＝2(23－x).
要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x，
111
则V四面体PBCD＝3×2(23－x)x＝6[－(x－3)2＋3]，由于0＜x＜23，故当x＝3时，V四面体PBCD
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的最大值为6×3＝2. 1答案 2 考 点 整 合
1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.
2.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正，高平齐，宽相等. 3.空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；
1
②S锥侧＝2ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
1
③S台侧＝2(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜高)； ④S球表＝4πR2(R为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
1
②V锥体＝3Sh(S为底面面积，h为高)；
4
③V球＝3πR3.
4.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 5.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 热点一 空间几何体的表面积与体积的求解
[命题角度1] 以三视图为载体求几何体的面积与体积
【例1－1】 (1)(2017·金华模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________.
(2)(2017·绍兴质量调测)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________.
解析 (1)该几何体可看作是由一个斜三棱柱ADE－GHF和一个正四棱锥F－GBCH拼接而成的组合体，其中ABCD为矩形，EF∥AB，AB＝2EF＝8，BC＝4，正四棱锥F－GBCH的高为
4＋811122
3，则该几何体的体积为V＝2×4×3＋3×4×3＝40，表面积为S＝2×2×13＋2×2×4×13＋4×8＝32＋1613.
2020届[步步高]高考数学专题复习讲义
