考点25 离散型随机变量的分布列、期望与方差
1. （2010·上海高考理科·Ｔ6）随机变量?的概率分布率由下图给出：
则随机变量?的均值是 . 【命题立意】本题考查分布列及均值的计算． 【思路点拨】按均值的计算公式代入求解．
【规范解答】E??7?0.3?8?0.35?9?0.2?10?0.15?8.2. 【答案】8.2．
2. （2010·湖北高考理科·Ｔ14）某射手射击所得环数?的分布列如下：
已知?的期望E??8.9，则y的值为 ．
【命题立意】本题主要考查离散型随机变量概率分布列的性质以及随机变量数学期望的计算． 【思路点拨】利用离散型随机变量所有概率和为1和E??8.9通过解方程组即可得到y的值。
【规范解答】由?【答案】0.4
x?0.1?0.3?y?1?解得y?0.4。
?7x?8?0.1?9?0.3?10y?8.93.（2010·四川高考理科·Ｔ17）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数?的分布列及数学期望E?.
【命题立意】本题主要考查相互独立事件、离散型随机变量的分布列、数学期望等概念及 相关计算.考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
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【思路点拨】问题（I）直接利用独立事件的概率公式求解；
kkn?k问题（II）直接利用n次独立实验概率公式P(??k)?Cnpq，列出分布列，求期望.
【规范解答】（I）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，
115225.P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)??()?. 66621625 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是.
216k1k53?k（II）?的所有可能取值为0,1,2,3,P(??k)?C3()(),k?0,1,2,3.
66则P(A)?P(B)?P(C)? ∴中奖人数?的分布列为
? P 0 125 2161 25 722 5 723 1 216
E??0?12525511?1??2??3??. 216727221624. （2010·重庆高考理科·Ｔ１7）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求： （1）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （2）甲、乙两单位之间的演出单位个数?的分布列与期望.
【命题立意】本小题考查等可能性事件的概率计算、对立事件的应用，考查随机变量的分布列及其应用，考查随机变量期望值的求法，考查转化思想.
【思路点拨】（1）至少有一个为奇数转化为其对立事件“没有奇数”；（2）先确定随机变量的取值，再列出分布列，最后求期望值.
【规范解答】（1）只考虑甲、乙两单位的相对位置，用组合计算基本事件数；
设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件
C3234的概率计算公式得：P(A)?1?P(A)?1?2?1??；
C6155甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率是
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（2）随机变量?的所有可能取值是0，1，2，3，4，且P(??0)?51?， 2C63P(??1)?4431?P(??2)??， ，C6215C6252211?P(??4)??，， 22C615C615P(??3)?所以随机变量?的分布列是：
? 0 P 1 2 3 4
14121 31551515
41214?2??3??4??. 155151534 即甲、乙两单位之间的演出单位个数?的期望值是.
3所以E??0??1?【方法技巧】在求基本事件的个数时，注意是否考虑顺序问题，要做到总的基本事件与所求的事件的基本
13A32事件要一致.例如本题（1）按照考虑顺序来求解，P(A)?1?P(A)?1?2
A614?1??.
555. （2010·江西高考理科·Ｔ１８）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到．．过的通道，直至走出迷宫为止．令?表示走出迷宫所需的时间． ．
（1）求?的分布列；（2）求?的数学期望．
【命题立意】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望，考查等可能事件、互斥事件和相互独立事件及其概率等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合的思想.
【思路点拨】（1）先确定?的所有可能取值，认真体会每一个取值的含义，然后利用概率知识求分布列；
（2）利用公式直接计算，注意运算的准确性.
【规范解答】（1）?的所有可能取值为：1,3,4,6
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1111P(??1)?,P(??3)?,P(??4)?,P(??6)?，所以?的分布列为：
3663? P （2）E??1?1 3 4 6 1 31 61 61 311117?3??4??6??（小时） 366326. （2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ18）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．
(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．
【命题立意】“漫言春未至，早有闹枝头”.本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想. 【思路点拨】(I)事件“1篇稿件被录用”是指：稿件通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审且稿件能通过复审专家的评审. (II)先根据题意确定X的可能值，并求出相应的概率，写出分布列.
【规范解答】(I)记A表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审;
B表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C表示事件:稿件能通过复审专家的评审;
D表示事件:稿件被录用.
则D?A?B?C,
p(A)?0.5?0.5?0.25,P(B)?2?0.5?0.5?0.5,P(C)?0.3,
P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(B?C)?P(A)?P(B)P(C)
?0.25?0.5?0.3?0.40(II)X~B(4,0.4),其分布列为:
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P(X?0)?(1?0.4)4?0.1296,
P(X?1)?C14?0.4?(1?0.4)3?0.3456, P(X?2)?C24?0.42?(1?0.4)2?0.3456, P(X?3)?C34?0.43?(1?0.4)?0.1536,
P(X?4)?0.44?0.0256.
期望EX?4?0.4?1.6.
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考点25 离散型随机变量的分布列、期望与方差
