（1.21、1.22、1.28、1.29、1.36、1.37、1.43、1.50）
1.21 将一质点以初速v抛出，v与水平线所成之角为?。此质点所受到的空气阻力为其速度的mk倍，
00m为质点的质量，k为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为?上，故用自然坐标比用直角坐标好.
时所需的时间。
解： 阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道上没点切线所在的直线方向
yv0v?mg题1.21.1图vx
?O轨道的切线方向上有：
m轨道的法线方向上有：
dv??mkv?mgsin? ① dtv2m?mgcos? ② r由于角是在减小的，故
r??ds ③ d?由于初末状态由速度与水平方向夹角?来确定，故我们要想法使①②变成关于?的等式 由①
m即
dvdvdsdv?m?mv dtdsdtdsmv把代入可得
dv??mkv?mgsin? ④ dsd???mgcos? ⑤ dsmv2用④?⑤可得
1dvkv?gsin? ?vd?gcos?1ksin?dv?d??d?gcos?vcos?v2
dvkd?sin???d?
v2cos?gcos2?vcos2?cos?dv?vsind?kd? ?v2cos2?gcos2?即
d?vcos??kd??v2cos2?gcos2?，两边积分得
?代入初始条件t1k?tan??C ⑥
vcos?g?0时，???,v?v0即可得
?1?k ?C????tan??vcos?g??0?代入⑥式，得
v?又因为v??r,mv?mgcos?
2gv0cos? ⑦
cos??kvcos?tan??tan???g?r所以 ??d??gcos?
?dtv ⑧
把⑦代入⑧
gv0cos?d???gcos?dt
cos??kvcos?tan??tan???g?
?2kv0sin??积分后可得1?1ln? ?1??tk?g??
1.22 如向互相垂直的匀强电磁场E、B中发射一电子，并设电子的初速度V与E及B垂直。试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为e任一瞬时电子运动的速度。 1.22 各量方向如题1.22.1图.
Z?E?v?B?，式中E为电场强度，e为电子所带的电荷，v为
BVOEy
x电子受力
题1.22.1图F?e?E?v?B??eEj?evxvyvz?evyBi??eE?evB?j
00Bijk则电子的运动微分方程为
??x?evyB?eBy?m?? ②-③-④ ??y?eE?evxB?eE?eBx?m??m???0?zeBx由②mdvx?eBdy,，即?vdvx? ym?dydtdt0vvx?代入③整理可得
eBy?V⑤ me2B2e??y?y??E?BV? ⑥ 2mm22eB对于齐次方程??y?y?0的通解 2mY1?A1cos非齐次方程的特解
eBeBt?A2sint mmY2?所以非齐次方程的通解
m?E?BV? 2eBy?Y1?Y2?A1coseBeBmt?A2sint?2?E?BV? mmeB
E?代入初始条件：tV?? ?0时，y?0得A1?eB?B??m?t?0 时，vy?0得A2?0,故y?m?E?eBmVmE ??V??cost?eB?B?meBeB2⑦
同理，把⑦代入⑤可以解出x?Em?E?eBt?t ?V??sinBeB?B?m
把⑦代入⑤
dxeB?m?E?eBmvmE??V?cost??2??V ??dtm?eBBmeBeB????
E?eBE?dx??V??cost?dt?dt
B?mB?x?代入初条件t）1.28 重为
m?E?eBEt?t?C ?V??sineB?B?mBm?E?eBEV??sint?t ?0时，x?0，得C?0.所以x?eB?B?mB?W的不受摩擦而沿半长轴为a、半短轴为b的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。
如小球自长轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。
1.28解 建立如题1.28.1图所示直角坐标.
yba椭圆方程
OAxBx2y2
??1a2b2①
题1.28.1图从
A滑到最低点B，只有重力做功.机械能守恒.即mgb?②
1mv2 22
设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为N则有： N-mg=mv/
?
③
?为B点的曲率半径.
xA?B的轨迹：y??b1?2
a
2得
y??a2bxx21?2a
y???b?a21?x? ??1?a2????232；
又因为
1??k?y???1?y??322?b a2
?bb2?所以N?mg? ?mg?2?2mgh?W??1?2a2???a??
2??b故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为W?1?2?
2??a??
mv2
方向垂直轨道向下.
1.29 一质量为m的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为式中
2mgcos?，
?为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为
x?a?2??sin2??,y??a?1?ccos2??
1.29 解质点作平面直线运动，运动轨迹方程为
?x?a?2??sin2?? ①-② ??y??a?1?cos2???v2mgcos??N?m???③-④ 由曲线运动质点的受力分析，我们可以得到：??mgsin??mdv?dt?
因为曲线上每点的曲率k?
dydyd?2asin2?sin2?所以 ?⑥ ??dxdx2a?2acos2?1?cos2?d?y???1?y??322⑤
d2yd?dy?d?dy?d????????dx2dx?dx?d??dx?dx?2cos2??1?cos2???2sin22??1?cos2??2
?11⑦ ?22a?2acos2?a?1?cos2??把⑥⑦代入曲率公式⑤中k?1 4acos?
所以??1?4acos?⑧
k 由④
dvdvdsdv??v?gsin? dtdsdtds
即vdv?
gsin?ds，数学可知dy?dssin?，即vdv?gdy所以v2?2gy??2ga?1?cos2??⑨
2
把⑧⑨代入①N?mgcos??mv?mgcos??m2ga?1?cos2???2mgcos?
4acos?1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。
?a? Fx?6abz3y?20bx3y2，Fy?6abxz3?10bx4y，Fz?18abxyz2 ?b? F?iFx?x??jFy?y??kFz?z?1．36
解 （a）保守力F满足条件??F即
?0对题中所给的力的表达式 ，代入上式
第一章习题课(第二次)
