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课时跟踪检测（二十八）
1．(2017·云南调研)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|m－x|(其中m∈R)． (1)当m＝2时，求不等式f(x)≥6的解集；
(2)若不等式f(x)≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围． 解：(1)当m＝2时，f(x)＝|x＋1|＋|2－x|，
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①当x<－1时，f(x)≥6可化为－x－1＋2－x≥6，解得x≤－；
2②当－1≤x≤2时，f(x)≥6可化为x＋1＋2－x≥6，无实数解； 7
③当x>2时，f(x)≥6可化为x＋1＋x－2≥6，解得x≥.
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?57?
综上，不等式f(x)≥6的解集为?x|x≤－或x≥?.
22??
(2)法一：因为|x＋1|＋|m－x|≥|x＋1＋m－x|＝|m＋1|，
由题意得|m＋1|≥6，即m＋1≥6或m＋1≤－6，解得m≥5或m≤－7，即m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．
－2x＋m－1，x 法二：①当m<－1时，f(x)＝?－m－1，m≤x≤－1， ??2x＋1－m，x>－1，此时，f(x)min＝－m－1，由题意知，－m－1≥6， 解得m≤－7，所以m的取值范围是m≤－7. ②当m＝－1时，f(x)＝|x＋1|＋|－1－x|＝2|x＋1|， 此时f(x)min＝0，不满足题意． －2x＋m－1，x<－1，?? ③当m>－1时，f(x)＝?m＋1，－1≤x≤m， ??2x＋1－m，x>m， 此时，f(x)min＝m＋1，由题意知，m＋1≥6，解得m≥5， 所以m的取值范围是m≥5. 综上所述，m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)． 2．(2017·郑州模拟)已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|的最小值为4. (1)求a＋b的值； 1212 (2)求a＋b的最小值． 49 解：(1)因为|x＋a|＋|x－b|≥|a＋b|，所以f(x)≥|a＋b|，当且仅当(x＋a)(x－b)<0时，等号成立，又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b，所以a＋b＝4. 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 121212113281613?16?22 (2)由(1)知a＋b＝4，b＝4－a，a＋b＝a＋(4－a)＝a－a＋＝?a－?13?4949369936?161636121216＋，故当且仅当a＝，b＝时，a＋b取最小值为. 1313134913 3．(2024届高三·湖南五市十校联考)设函数f(x)＝|x－1|－2|x＋a|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若不等式f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立，求a的取值范围． ??x≤－1，解：(1)a＝1，f(x)>1?|x－1|－2|x＋1|>1?? ?－x＋1＋2???－1 ???－x＋1－2 x＋1>1 或 x＋1>1 ??x>1， 或???x－1－2 x＋1>1 2 ?－2 3 2?2?2 (2)f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立?|x－1|－2|x＋a|>0在x∈[2,3]上恒成立?|2x＋2a| ??x－1)min?－5<2a<－4?－ 2 ? ? 4．(2017·宝鸡质检)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2. (1)解不等式|g(x)|<5； (2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围． 解：(1)由||x－1|＋2|<5得－5<|x－1|＋2<5， 所以－7<|x－1|<3，解得－2 所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5， 所以实数a的取值范围为{a|a≥－1或a≤－5}． 5．(2024届高三·湘中名校联考)已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R. (1)当a＝1时，解不等式f(x)≥5； (2)若存在x0满足f(x0)＋|x0－2|<3，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|. 由f(x)≥5得|x－2|＋|2x＋1|≥5. 当x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥5，解得x≥2，所以x≥2； 11当－ 不等式等价于2－x－2x－1≥5，解得x≤－，所以x≤－. 33 5 2 5 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. ??4??. x|x≤－或x≥2故原不等式的解集为 3?? (2)f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a－(2x－4)|＝|a＋4|，∵原命题等价于(f(x)＋|x－2|)min<3，即|a＋4|<3，∴－7 即实数a的取值范围为(－7，－1)． 6．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； ?a1?(2)设a＞－1，且当x∈?－，?时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． ?22? 解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3， ??1则y＝?－x－2，≤x≤1， 2 ??3x－6，x＞1. ＜x＜2}． 1－5x，x＜， 2 其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0 ?a1?(2)当x∈?－，?时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2 ?22? a4?a1?对x∈?－，?都成立．故－≥a－2，即a≤. 23?22? 4??从而a的取值范围是?－1，?. 3?? 7．(2017·贵阳检测)已知|x＋2|＋|6－x|≥k恒成立． (1)求实数k的最大值； (2)若实数k的最大值为n，正数a，b满足 82 ＋＝n.求7a＋4b的最小值． 5a＋b2a＋3b解：(1)因为|x＋2|＋|6－x|≥k恒成立， 设g(x)＝|x＋2|＋|6－x|，则g(x)min≥k. 又|x＋2|＋|6－x|≥|(x＋2)＋(6－x)|＝8，当且仅当－2≤x≤6时，g(x)min＝8， 所以k≤8，即实数k的最大值为8. 82 (2)由(1)知，n＝8，所以＋＝8， 5a＋b2a＋3b即 41＋＝4，又a，b均为正数， 5a＋b2a＋3b1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
通用版2024年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十八理
