第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、知识梳理
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sinx＋cosx＝1．
πsin x?
其中x≠kπ＋，k∈Z?(2)商数关系：tan x＝??.
2cos x??2．三角函数的诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 常用结论 1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2．诱导公式的记忆口诀
π
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函
2数名称的变化．
二、习题改编
1．(必修4P19例6改编)已知sin α＝A．－2 1C. 2
5π
，≤α≤π，则tan α＝( ) 52B．2 1D．－
2
22
2
一 二 π＋α －sin α －cos α tan α 三 －α －sin α cos α －tan α 四 π－α sin α －cos α －tan α 五 π－α 2cos α sin α 六 π＋α 2cos α －sin α α＋2kπ (k∈Z) sin α cos α tan α 解析：选D.因为cos α＝－1－sinα＝－sin α1
＝－. cos α2
2
25?5?2
1－??＝－，所以tan α＝
5?5?
1－cos2θ2．(必修4P20练习T4改编)化简＝ ．
2
cos 2θtan 2θ2
2
解析：1－cos2θsin2θcos 2θtan 2θ＝＝sin 2θ.
cos 2θ·
sin 2θcos 2θ答案：sin 2θ
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的角α，β，都有sin2
α＋cos2
β＝1.( ) (2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( (4)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cos θ＝1
3.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏
常见误区(1)不注意角的范围出错； (2)诱导公式记忆不熟出错．
1．已知cos(π＋α)＝2
3，则tan α＝( )
A.52 B.25
5
C．±52
D．±255
解析：选C.因为cos(π＋α)＝2
3，
所以cos α＝－2
3，
则α为第二或第三象限角， 所以sin α＝±1－cos2
α＝±53
. ) 5±3sin α5
所以tan α＝＝＝±.
cos α22
－3
3π?1?2．若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝ ，cos?α＋?＝ ． 2?2?11
解析：由sin(π＋α)＝－sin α＝－，得sin α＝，则sin(7π－α)＝sin(π－
22
α)＝sin α＝，cos?α＋
1
＝. 2
11答案：
22
12
??
3π?3ππ?????π?＝cos?α＋－2π?＝cos?α－?＝cos?－α?＝sin α?2?22?????2?
同角三角函数的基本关系式(多维探究) 角度一 公式的直接应用
3
(1)(2024·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝( )
5
3
A. 44C. 3
3B．－
44D．－
3
1
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为 ．
33
【解析】 (1)因为cos α＝－且α∈(0，π)，
542
所以sin α＝1－cosα＝，
5sin α4
所以tan α＝＝－.故选D.
cos α31
(2)由tan α＝－，
3
1
得sin α＝－cos α，且sin α>0，cos α<0，
310222
将其代入sinα＋cosα＝1，得cosα＝1，
9
31010
所以cos α＝－，sin α＝，
1010故sin α＋cos α＝－【答案】 (1)D (2)－
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
角度二 sin α，cos α的齐次式问题
tan α 已知＝－1，求下列各式的值：
tan α－1
sin α－3cos α(1)；
sin α＋cos α(2)sinα＋sin αcos α＋2. 1
【解】 由已知得tan α＝.
2
sin α－3cos αtan α－35(1)＝＝－.
sin α＋cos αtan α＋13
sinα＋sin αcos αtanα＋tan α(2)sinα＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝222
sinα＋cosαtanα＋1
2
2
2
2
10
. 510 5
?1?＋1?2?2???1?＋1?2???
2
2
13＋2＝.
5
关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次
整式的化简求值的解题策略
已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．
角度三 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
1
已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝.
5
(1)求sin α－cos α的值； sin 2α＋2sinα(2)求的值．
1－tan α1
【解】 (1)由sin α＋cos α＝，
5
122
平方得sinα＋2sin αcos α＋cosα＝，
2524
整理得2sin αcos α＝－.
25
492
所以(sin α－cos α)＝1－2sin αcos α＝.
25由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0， 所以cos α>0，则sin α－cos α<0， 7
故sin α－cos α＝－.
5
sin 2α＋2sinα2sin α（cos α＋sin α）(2)＝＝
1－tan αsin α1－
cos α241－×2552sin αcos α（cos α＋sin α）24＝＝－.
cos α－sin α7175
5
sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧
(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝
2
2
t2－1
2
，sin α－cos α＝±2－t(注意根据α2
2024版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式教案文新人教A版
