习题精选精讲
根据（1）与（2）c?a?b,?c?22a222?1?2.所求双曲线方程为x?y?2.
c?x??2?tcos?22 （Ⅱ）设直线m的参数方程为：?.代入x?y?2得：
?y?tsin???2?tcos????tsin???2?t2cos2?当
2?4tcos??2?02?3?
，方程（3）总有相异二实根，设为
cos2??0时，???16cos??8?2cos??1??8?04cos??t?t?12??cos2?t1，t2.那么?2?t?t?12?cos2???4?.
????????已知直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，∴FB与FA同向，
????222?t1?t2?t2t1t2?t11FBt2??????2 故??????0，.于是：????t1t2t1t2t1t2t1FA.注意到??1?在??[6,??)上是增函数，??t1?t2?t1t2?48cos2?2?6?16??t1?t2?t1t22?496?5?
4cos（4）代入（5）：6??os2?c29???4??cos22??2?492cos??12?50cos?4?92??2??
?sec??250492?tan??2149?k?17或k??17
∵双曲线x?y?2的渐近线斜率为?1，故直线m与双曲线C的左右两支分别交必须
1??1??k???1，1?.综合得直线m的斜率k的取值范围是k???1，????，1?.
77????双曲线
1已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=
213的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，
与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
解 (1)如图，设双曲线方程为
xa22?yb22=1 由已知得
6a22?6b22?1,e?2a?ba222?213,解得a2=9,b2=12 所
yNP以所求双曲线方程为
x29?y212=1
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2） 假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有
A1MoGA2x22?x1?x2?4?y?y21244?12x1?9y1?108,??1??，∴kl=∴l的方程为 ?223x1?x293?y1?y2?4??12x2?9y2?108- 6 - - 6 -
习题精选精讲
?12x2?9y2?1084?y= (x－2)+2,由?,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在 43?y?(x?2)3?2．已知双曲线x2?y22?1,问过点A（1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直
线l的方程，若不存在，说明理由。
错解 设符合题意的直线l存在，并设P(x1,x2)、Q(x2,y2)
2?2y1?1(1)?x1?1?2 则? （1）?(2)得(x1?x2)(x1?x2) ?(y1?y2)(y1?y2)(3) 因为A（1，1）为线段
22y2?2x2??1(2)?2?PQ的中点， 所以??x1?x2?2(4)?y1?y2?2(5) 将(4)、(5)代入（3）得 x1?x2?12(y1?y2)
若x1?x2，则直线l的斜率 k?y1?y2x1?x2?2 所以符合题设条件的直线l存在。 其方程为2x?y?1?0 剖析 在
（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由
?y?2x?1?22 得2x?4x?3?0 根据???8?0,说明所求直线不存在。 ?2y?1?x?2?3已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x?2y22?1于A、B两点，且ON?12(OA?OB)（1）求直线AB的方程；（2）若过N
的直线l交双曲线于C、D两点，且CD?AB?0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？ 解：（1）设直线AB：y?k(x?1)?2代入x?2y22?1得 (2?k)x?2k(2?k)x?(2?k)?2?0 （＊）
2222 令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 ∴ 2?k?0 且 x1?x2? ∵ ON?12(OA?OB) ∴ N是AB的中点 ∴
22k(2?k)2?k2
x1?x22?1
∴ k(2?k)??k?2 k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1
2 （2）将k = 1代入方程（＊）得x?2x?3?0 x??1或x?3 由y?x?1得y1?0，y2?4 ∴ A(?1,0)，
B(3,4)∵ CD?AB?0 ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为
y??(x?1)?2即y?3?x代入双曲线方程整理得x?6x?11?0 令C(x3,y3)，D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0)则
x3?x4??6，x3?x4??11， ∴x0?x3?x42??3， y0?6
2 |CD| =410，|MC|?|MD|?12|CD|?210 |MA|?|MB|?210，即A、B、C、D到M距离相等
∴ A、B、C、D四点共圆
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双曲线经典例题
