双曲线经典例题 

习题精选精讲

【例1】若椭圆

x2m?y2n?1?m?n?0?与双曲线

x2a?y2b?1(a?b?0)有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，

则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）

A. m?a B.

12?m?a? C. m22?a D. m?a

【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为

m，?PF1?PF2?2m?1? ?2?

a，?PF1?PF2??2a?1?2??2?：4PF1?PF2?4?m?a??PF1?PF2?m?a，故选A.

2【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线

x29?y227，F为右焦点，若双曲线上有一点P，使PM?1与点M（5，3）

YN′NP′?12PF最小，则P点的坐标为

【分析】待求式中的

12是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.

【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率e?2， 右准线为l：x?OPM(5,3)F(6,0X)3232.作MN?l于N，交双曲线右支于P，

连FP，则PF?ePN?2PN?PN?12PF.此时

32?75X=PM?122PF?PM?PN?MN?5?为最小.

在

x9?y227?1中，令y?3，得x2?12?x??23.?x?0，?取x?23.所求P点的坐标为（23，3）.

（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯

对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.

双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.

【例3】过点（1，3）且渐近线为y??12x的双曲线方程是

【解析】设所求双曲线为

x24?y?k3542?1?

点（1，3）代入：k?14?9??2.代入（1）：

x24?y??2354?4y3522?x235?1即为所求.

【评注】在双曲线

xa?yb22?1中，令

xa22?yb22?0?xa?yb?0即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为

xa22?

yb22?k，而无须考虑其实、虚轴的位置.

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（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄

将双曲线

xa22?yb22?1的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：

xb22?ya22?1.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦

距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.

【例4】两共轭双曲线的离心率分别为e1,e2，证明：

1e21?1e22=1.

【证明】双曲线

xa22?yb22?1的离心率e1?ca?e?21ca222?a?ba222；

双曲线

xb22?ya22?1的离心率e2?a222cb?e?22cb22?a?bb22.

∴

1e12?1e22?a?b?b222a?b?1.

（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美

实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.

【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为x?y?a22222?1?，

CYD直线CD：y=m.代入（1）：x??x?m.故有：

C?x?m,m,D?22??22x?m,m.

?AOBX取双曲线右顶点B?a,0?.那么：

????????22BC??x?m?a,m,BD????x?m?a,m

22?????????????????2222???BC?BD?a??a?m??m?0,?BC?BD.即∠CBD=90°. ??同理可证：∠CAD=90°.

● 通法 特法 妙法

（1）方程法——为解析几何正名

解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.

【例6】如图，F1和F2分别是双曲线该

xa22?yb22?1(a?0,b?0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与

双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）

（A）

3 （B）5 （C）

52 （D）1?3

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【解析1】设AB交x轴于M，并设双曲线半焦距为c，∵△F2AB是等边三角形，∴OM?代入双曲线方程：

2c2,MA??c3?c.点A??,c???2?22?3b?c24?a?234c?ab?c2222?c22?a2??3a2c?4a22?c2?a2?.化简得：

3?1.

c?8ac?4a?0?e?8e?4?0?e?4?23?e?（∵e＞1，∴e?4?23及e?24224423?1舍去）故选D.

【解析2】连AF1，则△AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.令AF1?r1,AF2?r2.由直角三角形性质知：

?r2?r1?2a?r1?c??. ?1??r2?2a?c?r2?2c?r1r2?2∵r1?r2?4c,??2a?c??c?4c?2a?2ac?c?0?e?2e?2?0.

222222222∵e﹥1，∴取e?3?1.选D.

【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.

（2）转换法——为解题化归立意 【例7】直线l过双曲线是 （ ）

A.e>

xa22?yb22?1的右焦点，斜率k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围

2 B.15

Y【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.

【解析】如图设直线l的倾斜角为α，双曲线渐近线

OFXm的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线l与双曲线的两

个交点分别在左右两支上.由

l????tan??tan??ba?2?c?aa222?4?e?5.

2 ∵双曲线中e?1，故取e>

5.选D.

（3）几何法——使数形结合带上灵性 【例8】设P为双曲线x?2y212?1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|?3:2，则△PF1F2的面积为

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（ ）

A．63

B．12 C.123 D．24

【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：

a?1,b?23c,?.设；13

YPF1?3r,PF2?2r.?PF1?PF2?2a?2,?r?2.

于是PF1?6,PF2?4.?PF12?PF22?52?F1F2，

F1O2P2rF2X故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°.

∴S?PFF?1212PF1?PF2?12?6?4?12.选B.

【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.

将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处.

（4）设而不求——与借舟弃舟同理

减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例： 【例9】双曲线x2?y2，则此弦所在的直线方程为 （ ） ?1的一弦中点为（2，1）

A. y?2x?1 B. y?2x?2 C. y?2x?3 D. y?2x?3 【解析】设弦的两端分别为Ax1,y1,Bx2,y2.则有：

?????x12?y12?1y1?y2x1?x22222?x?x?y?y?0??. ?12??12??22x1?x2y1?y2?x2?y2?1?x1?x2?4y?y2x?x2∵弦中点为（2，1），∴?.故直线的斜率k?1?1?2.

y?y?2x?xy?y?121212则所求直线方程为：y?1?2?x?2??y?2x?3，故选C.

“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它. 但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看： 【例10】在双曲线x2?y22?1上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.

如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：

【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：

?212x1?y1?1?1?2??x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0?2?x2?1y2?122??2∵M（1，1）为弦AB的中点，

?1?.

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∴??x1?x2?2?y1?y2?2代入?1?：2?x1?x2???y1?y2??0，?kAB?y1?y2x1?x2?2

故存在符合条件的直线AB，其方程为：y?1?2?x?1?，即y?2x?1. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：

2其一：将点M（1，1）代入方程x?y22?1，发现左式=1-

12?12＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜

率kAB?2，而双曲线的渐近线为y??2x.这里2?2，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.

问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由

?2y2?12?x?22?2x?2x?1?2?2x?4x?3?0??2??y?2x?1??2?

这里??16?24?0，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.

此外，上述解法还疏忽了一点：只有当x1?x2时才可能求出k=2.若x1?x2，必有y1?y2?0.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.

结论；不存在符合题设条件的直线.

（5）设参消参——换元自如 地阔天宽

一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.

【例11】如图，点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是ly上的一点，已知|PQ|?|FQ|?1，且线段PF的中

l点M在双曲线C的左支上.

P（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；

（Ⅱ）若过点F的直线m与双曲线C的左右 两支分别交于A、B两点，设FB??FA，当

FMQAOxBm??[6,??)时，求直线m的斜率k的取值范围.

【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF的中点M 的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到

点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向

第（Ⅱ）中，直线m的斜率k是主要变量，其它包括λ都是辅助变量. 斜率k的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线m的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择.

【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：

xa22?yb22?1.其左焦点为F（-c。0）；左准线：x??a2c.

由|PQ|?1，得P（?a2c，1）；由|FQ|?1?c?a2c2?1?2b2c?1?b?c.?1?2

?c?a?1?c2?a21?,?.代入双曲线方程：??1 FP的中点为M??22c24ca4c??2??c?a22?2?ac?4ca??c?a22222?2?ac?b?ac242?2?

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