[练案44]第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
A组基础巩固
一、单选题
1．在空间中，下列命题正确的是( D ) A．经过三个点有且只有一个平面
B．经过一个点和一条直线有且只有一个平面 C．经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个 D．经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个
2．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为( A ) A．4 C．2
B．3 D．1
[解析] 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面． 3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( C ) A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
[解析] 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.
4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是( C )
A．直线AC C．直线CD
B．直线AB D．直线BC
[解析] 由题意知，D∈l，l?β，所以D∈β， 又因为D∈AB，所以D∈平面ABC， 所以点D在平面ABC与平面β的交线上． 又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上， 所以平面ABC∩平面β＝CD.
5．(2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1
中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( D )
1A． 53C． 5[解析]
2B． 54D． 5
连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB2
A1B2＋BC241－A1C1
＝1，AA1＝2，易得A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，故cos∠A1BC1＝＝，即异面直线
2×A1B×BC15
A1B与AD1所成角的余弦值为.
6．(2018·陕西榆林模拟)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，
4
5
AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为( B )
15A． 175C． 13[解析]
16B． 1712D． 13
如图，取B1C1的中点P，连接BP，MP.∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，∴AN∥BP，∴∠MBP是BM与AN所成的角(或
所成角的补角)．BM＝BP＝
17172＋－444
2＋
2
12
2
＝
17
，MP＝212
2
＋
12
2
＝
2
，∴cos∠MBP2
BM2＋BP2－MP2＝＝
2BM·BP
1616
＝.∴BM与AN所成的角的余弦值为.故选B.
17171717
2××
22
7．(2019·江西高安期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形
A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( A )
①CC1与B1E是异面直线；
②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1； ③AC⊥平面ABB1A1； ④A1C1∥平面AB1E. A．② C．①④
B．①③ D．②④
[解析] 对于①，CC1，B1E都在平面BB1CC1内，故错误；可排除B、C，对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误，选A项．
8．(2019·福建长汀、连城一中等六校联考)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为2、侧棱长为23，D、E分别是AB、SC的中点，则异面直线DE与BC所成的角的大小为( B )
A．90° C．45° [解析]
B．60° D．30°
231
作SO⊥平面ABC于O，则C、O、D共线，由题意可知CO＝，∴cos∠SCD＝，取SB33的中点H，连HE，HD，则HE∥BC，从而∠HED即为异面直线DE与BC所成的角，且HE＝1，DH1222
＝3，又DE＝DC＋CE－2DC·CE·cos∠DCS＝4，∴∠EHD＝90°，又EH＝DE，∴∠HED＝
260°，故选B.
9．(2019·福建漳州二模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点，则异面直线AD1
与OC1所成角的余弦值为( C )
1A． 2C．
3 2
B．
3 3
25D．
5
[解析]
由题意知O∈BD，连BC1，则BC1∥AD1， ∴∠OC1B即为AD1与OC1所成的角， 设正方体棱长为a， 则BO＝
2
a，BC1＝2a， 2
1
又BC1＝DC1，∴C1O⊥BD，∴sin∠OC1B＝，
2从而cos∠OC1B＝
3
，故选C. 2
10．(2019·内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( D )
π
A．(0，)
2π
C．[0，]
3二、多选题
11．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的是( ABC )
π
B．(0，]
2π
D．(0，]
3
[解析]
在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，
RS，易证PQ//RS，∴P，Q，R，S共面；如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，
故四点共面；D图中PS与 QR为异面直线，∴四点不共面，故选ABC.
12.(原创)三个平面可将空间分成( )部分( ACD ) A．4 C．7
B．5 D．8
[解析] 三个平面可将空间分成4或6或7或8部分．
13．(2020·湖北名师联盟模拟改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，，F分别是AB，
A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列结论错误的是( ABD )
A．直线EF，AO是异面直线 B．直线EF，BB1是相交直线 C．直线EF与BC1所成角为30° D．直线EF与BB1所成角的余弦值为
3
3
[解析] OF綊AE，EF、AO是相交直线，A错；
EF、BB1是异面直线，B错；
如图，OF綊BE，
2021版高考数学一轮复习练案(44)第七章立体几何第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系(含解析)
