[练案44]第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
A组基础巩固
一、单选题
1.在空间中,下列命题正确的是( D ) A.经过三个点有且只有一个平面
B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面 C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个 D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个
2.四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数为( A ) A.4 C.2
B.3 D.1
[解析] 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面. 3.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是( C ) A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交 C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
[解析] 若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.
4.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面ABC与平面β的交线是( C )
A.直线AC C.直线CD
B.直线AB D.直线BC
[解析] 由题意知,D∈l,l?β,所以D∈β, 又因为D∈AB,所以D∈平面ABC, 所以点D在平面ABC与平面β的交线上. 又因为C∈平面ABC,C∈β,
所以点C在平面β与平面ABC的交线上, 所以平面ABC∩平面β=CD.
5.(2020·青岛模拟)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1
中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( D )
1A. 53C. 5[解析]
2B. 54D. 5
连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB2
A1B2+BC241-A1C1
=1,AA1=2,易得A1C1=2,A1B=BC1=5,故cos∠A1BC1==,即异面直线
2×A1B×BC15
A1B与AD1所成角的余弦值为.
6.(2018·陕西榆林模拟)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,
4
5
AA1=2,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,则BM与AN所成的角的余弦值为( B )
15A. 175C. 13[解析]
16B. 1712D. 13
如图,取B1C1的中点P,连接BP,MP.∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,∴AN∥BP,∴∠MBP是BM与AN所成的角(或
所成角的补角).BM=BP=
17172+-444
2+
2
12
2
=
17
,MP=212
2
+
12
2
=
2
,∴cos∠MBP2
BM2+BP2-MP2==
2BM·BP
1616
=.∴BM与AN所成的角的余弦值为.故选B.
17171717
2××
22
7.(2019·江西高安期末)三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直于底面A1B1C1,底面三角形
A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( A )
①CC1与B1E是异面直线;
②AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1; ③AC⊥平面ABB1A1; ④A1C1∥平面AB1E. A.② C.①④
B.①③ D.②④
[解析] 对于①,CC1,B1E都在平面BB1CC1内,故错误;可排除B、C,对于④,A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故错误,选A项.
8.(2019·福建长汀、连城一中等六校联考)已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2、侧棱长为23,D、E分别是AB、SC的中点,则异面直线DE与BC所成的角的大小为( B )
A.90° C.45° [解析]
B.60° D.30°
231
作SO⊥平面ABC于O,则C、O、D共线,由题意可知CO=,∴cos∠SCD=,取SB33的中点H,连HE,HD,则HE∥BC,从而∠HED即为异面直线DE与BC所成的角,且HE=1,DH1222
=3,又DE=DC+CE-2DC·CE·cos∠DCS=4,∴∠EHD=90°,又EH=DE,∴∠HED=
260°,故选B.
9.(2019·福建漳州二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点,则异面直线AD1
与OC1所成角的余弦值为( C )
1A. 2C.
3 2
B.
3 3
25D.
5
[解析]
由题意知O∈BD,连BC1,则BC1∥AD1, ∴∠OC1B即为AD1与OC1所成的角, 设正方体棱长为a, 则BO=
2
a,BC1=2a, 2
1
又BC1=DC1,∴C1O⊥BD,∴sin∠OC1B=,
2从而cos∠OC1B=
3
,故选C. 2
10.(2019·内蒙古包头模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( D )
π
A.(0,)
2π
C.[0,]
3二、多选题
11.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点共面的是( ABC )
π
B.(0,]
2π
D.(0,]
3
[解析]
在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,∴P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,
RS,易证PQ//RS,∴P,Q,R,S共面;如图所示,在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,
故四点共面;D图中PS与 QR为异面直线,∴四点不共面,故选ABC.
12.(原创)三个平面可将空间分成( )部分( ACD ) A.4 C.7
B.5 D.8
[解析] 三个平面可将空间分成4或6或7或8部分.
13.(2020·湖北名师联盟模拟改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,,F分别是AB,
A1D1的中点,O为正方形A1B1C1D1的中心,则下列结论错误的是( ABD )
A.直线EF,AO是异面直线 B.直线EF,BB1是相交直线 C.直线EF与BC1所成角为30° D.直线EF与BB1所成角的余弦值为
3
3
[解析] OF綊AE,EF、AO是相交直线,A错;
EF、BB1是异面直线,B错;
如图,OF綊BE,
2021版高考数学一轮复习练案(44)第七章立体几何第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系(含解析)
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