高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用
一、知识网络
导 数 的 运 算 求 求导复 #四合数 公则函的 式运 算导 法数 则
二、 咼考考点
1导数定义的认知与应用； 2、 求导公式与运算法则的运用； 3、 导数的几何意义；
4、 导数在研究函数单调性上的应用； 5、 导数在寻求函数的极值或最值的应用; 6、 导数在解决实际问题中的应用。 三、 知识要点 （一）导数 1导数的概念
（1）导数的定义
（I）设函数「=：：匚在点I及其附近有定义，当自变量x在】 处有增量厶x （ △ x可正可负），则函数y相应地有增量
Ay_ y（x0 + Az）-/（x0） '：■'-；，这两个增量的比二
，叫做函
数/ 在点二到-■\ 有极限，则说函数:-在点：〕处可导，并把这个极限叫做在 点〔处的导数（或变化率），记作■4--.，即 虬lo怨山）一悠）
f：;
-
1
■ :「丄1 ??-' 一? 。
（H） 如果函数在开区间（一）内每一点都可导，则说
在开区间（「）内可导，此时，对于开区间（一）内每一个确定 的值〔，都对应着一个确定的导数? '''■■：'■,这样在开区间（一） 内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做
内的导函数（简称导数），记作「| 或「, 即
在开区间（「）
-■ ■ _； ■ — 。 认知：
（I） 函数的导数是以x为自变量的函数，而函数 在点】处的导数■'''
的导函数当'
是一个数值；在点】处的导数是
|时的函数值。
（H）求函数「口在点】处的导数的三部曲： ① 求函数的增量
②求平均变化率匚
③求极限；二］
上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 差、
:1
（2）导数的几何意义: 函数在点】 处的导数「；,是曲线:1 在点 '■ ■.处的切线的斜率。
（3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别:
::
（I）若函数「口在点】处可导，则」）在点〔处连续;
若函数在开区间（「）内可导，贝^连续）。
事实上，若函数在点：〔
y（x0 + Ax） - /（x ）
，：1
在开区间（「） 内连续（可导一定
处可导，则有
曲
go
Ax -
---- ； =
Hm/（i0 + 加）=11 喲偏 + 加）-了為））+ 金））］
JJT-4O
■阿怒+山））］ 止屮 二向空也如皿加+曲您）
Ax
记「j ,则有「「「即」 在点】处连续。
（H）若函数在点处连续，但在点处不一定可
导（连续不一定可导）
反例：「二\1才在点「L处连续，但在点「I处无导数。
在点：〔处的增量
事实上,
Ax Ax
lim — = 1 —胪Az 带$ AX lim — = -1
Ax
由此可知,
不存在，故在点「L处不可导
2、求导公式与求导运算法则 （1）基本函数的导数（求导公式） 公式1 0。
公式2 公式3 公式4 公式5
幕函数的导数。 正弦函数的导数：。 余弦函数的导数：m 对数函数的导数：
常数的导数：：II （c为常数），即常数的导数等于
（In xV=-
（I） -；
（n）
公式6
、
指数函数的导数：
(2) 可导函数四则运算的求导法则
设「 为可导函数，则有 法则1
；< 二『二 r ；
法则2
(紆牛叫
法则3
3、复合函数的导数 (1) 复合函数的求导法则
设；复合成以x为自变量的函数I<- ，则 复合函数:- :对自变量x的导数「：，等于已知函数对中间变量 肚=*)的导数兀，乘以中间变量U对自变量x的导数町，
即」一厂1「。
引申：设■■< ，\汽叮山门：复合成函数 有」J ;
(2) 认知
(I)认知复合函数的复合关系循着 由表及里”的顺序，即从外 向内分
析：首先由最外层的主体函数结构设出
■
,由第一层中
；1
r
y|
1
V V
， 则
间变量的函数结构设出,由第二层中间变量「门； 的函数结构设出■< ,由此一层一层分析，一直到最里层的中间 变量〔为自变量x的简单函数为止。于是所给函数便 分解” 为若干相互联系的简单函数的链条：
\,
(H)运用上述法则求复合函数导数的解题思路
①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给 函数 分解”为相互联系的若干简单函数；
② 求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，
运用上述
高中数学高考复习导数及其应用资料
