山西省晋中市2024届新高考第一次质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z1?cos23?isin23和复数z2?cos37?isin37，则z1?z2为 A．
13?i 22B．
31?i 22C．
13?i 22D．31?i 22【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】
z1z2＝（cos23°+isin23°+isin37°+isin60°）?（cos37°）＝cos60°＝故答案为C． 【点睛】
熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
13?i． 22x2y22．已知直线3x?y?m?0过双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交
ab于点A，若|FA|?|FO|（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 A．2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
直线3x?y?m?0的倾斜角为
B．3?1
C．5 D．5?1
π，易得|FA|?|FO|?c．设双曲线C的右焦点为E，可得△AFE中，32c3c?c?3?1.故选B．
?FAE?90，则|AE|?3c，所以双曲线C的离心率为e?x2y23．设双曲线2?2?1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（c,0）（c＞0），且离心率等于5，若该双曲线ab的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为25，则该双曲线的标准方程为（ ）
x2y2A．??1
205x2y2B．??1
25100x2y2C．??1
520【答案】C 【解析】 【分析】 由题得
x2y2D．??1
525bcc2?5，22?b?c?5，又a2?b2?c2，联立解方程组即可得a2?5，b2?20，进aa?b而得出双曲线方程. 【详解】 由题得e?c?5 ① a又该双曲线的一条渐近线方程为bx?ay?0，且被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为25，
所以bca2?b2?b?c2?5 ②
又a2?b2?c2 ③ 由①②③可得：a2?5，b2?20，
x2y2所以双曲线的标准方程为??1.
520故选：C 【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P、Q分别为AB、AD的中点，过点D作平面?使B1P//平面?，
A1Q//平面?若直线B1D1?平面??M，则
A．
MD1的值为（ ） MB11 4B．
1 3C．
1 2D．
2 3【答案】B 【解析】 【分析】
作出图形，设平面?分别交A1D1、C1D1于点E、F，连接DE、DF、EF，取CD的中点G，连接PG、
C1G，连接A1C1交B1D1于点N，推导出B1P//C1G，由线面平行的性质定理可得出C1G//DF，可得出
点F为C1D1的中点，同理可得出点E为A1D1的中点，结合中位线的性质可求得
MD1的值. MB1【详解】 如下图所示：
设平面?分别交A1D1、C1D1于点E、F，连接DE、DF、EF，取CD的中点G，连接PG、C1G，连接A1C1交B1D1于点N，
四边形ABCD为正方形，P、G分别为AB、CD的中点，则BP//CG且BP?CG，
?四边形BCGP为平行四边形，?PG//BC且PG?BC，
B1C1//BC且B1C1?BC，?PG//B1C1且PG?B1C1，则四边形B1C1GP为平行四边形， ?B1P//C1G，B1P//平面?，则存在直线a?平面?，使得B1P//a，
若C1G?平面?，则G?平面?，又D?平面?，则CD?平面?， 此时，平面?为平面CDD1C1，直线A1Q不可能与平面?平行， 所以，C1G?平面?，?C1G//a，?C1G//平面?，
C1G?平面CDD1C1，平面CDD1C1平面??DF，?DF//C1G，
11C1F//DG，所以，四边形C1GDF为平行四边形，可得C1E?DG?CD?C1D1，
2211?F为C1D1的中点，同理可证E为A1D1的中点，B1D1EF?M，?MD1?D1N?B1D1，因此，
24MD11?. MB13故选：B. 【点睛】
本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面?与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
山西省晋中市2024届新高考第一次质量检测数学试题含解析
