A级 基础通关
π
1．(2024·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(－θ)＝2，
6曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．
解：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆． π
因为直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)＝2，
6π
则直线l过A(4，0)，倾斜角为，
6所以A为直线l与圆C的一个交点．
π
设另一个交点为B，则∠OAB＝.
6如图，连接OB.
π
因为OA为直径，从而∠OBA＝，
2π
所以AB＝4cos ＝23.
6
因此，直线l被曲线C截得的弦长为23.
2．(2024·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
??x＝2cos θ，?(θ为参数)，直线l的参数方程为 ??y＝4sin θ
??x＝1＋tcos α，
?(t为参数)． ?y＝2＋tsin α?
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率． x2y2
解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
416
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α， 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2 α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内， 所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0. 4（2cos α＋sin α）又由①得t1＋t2＝－，
1＋3cos2 α
故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
3．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数
??x＝3－t，?π??方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin?θ＋3?.
????y＝1＋3t
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积．
??x＝3－t，
解：(1)由?消去参数t得3x＋y＝4，
??y＝1＋3t，
所以直线l的普通方程为3x＋y－4＝0.
?π??由ρ＝4sinθ＋3?＝2sin θ＋23cos θ， ??
得ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ，即x2＋y2＝23x＋2y. 所以曲线C的直角坐标方程是圆(x－3)2＋(y－1)2＝4. (2)因为原点O到直线l的距离d＝
|－4|（3）＋1
2
2
＝2.
直线l过圆C的圆心(3，1)，所以|MN|＝2r＝4， 1
所以△MON的面积S＝|MN|×d＝4.
2
4．(2024·佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程
??x＝m＋2t，为?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建?y＝2t?
4立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.
1＋sin2θ
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C上的点，PQ⊥l，垂足为Q，若|PQ|的最小值为2，求m的值．
4解：(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ＝，
1＋sin2θ
2
则ρ2＋ρ2sin2θ＝4，
22xy
将ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y代入上式并化简得＋＝1，
42
x2y2
所以曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
42
??x＝m＋2t，由?消去参数t得x－2y＝m， ??y＝2t，
所以直线l的普通方程为x－2y－m＝0.
(2)设P(2cos θ，2sin θ)，由点到直线的距离公式得 |2cos θ－2sin θ－m||PQ|＝＝3由题意知m≠0，
|22－m|
当m＞0时，|PQ|min＝＝2，得m＝23＋22；
3
??π???22cos?θ＋?－m?
4????
3
，
数学(文)高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题七第1讲 坐标系与参数方程(选修4-4)
