2013年全国高中数学联合竞赛（B卷）一试
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2013B1、已知锐角三角形的三条边长都是整数，其中两条边长分别为3和4，则第三条边的边长为 ． ◆答案：3或4
★解析：设第三条边长为c。因为是锐角三角形，所以c?4?3?2，且c?3?4?5，即2?c?5，因为c是整数，得c?3或4
2013B 2、设i?23322222?1为虚数单位，则i?2i2?3i3??2013i2013? ．
◆答案：1006?1007i ★解析：因为i?2i2?3i3??2013i2013?
1006项??2?4?6?8???2010?2012???1?3?5?7???2011?2013?i?1006?1007i ??????????????????????????????1005项
2013B 3、设集合A??2,0,1,3?，集合B?x?x?A,2?x?A，则集合B中所有元素的和
2??为 ． ◆答案：?5
★解析：易得B???3,?2,?1,0?，验证即可得B???3,?2?，所以所求为?2?3??5
2013B 4、已知正三棱锥P?ABC的底面边长为1，高为2，则其内切球半径是 ．
◆答案：
2 6★解析：如图，设球心O在面ABC和面ABP内的射影分别是H和K，
AB中点为M，内切球半径为r，则P,K,M共线，P,O,H共线，
?PHM??PKO?900，且OH?OK?r，PO?PH?OH?2?r， MH?1533322?2?AB?,PM?MH?PH?, 12666
所以
r2?r?2OKMH1?sin?KPO??,解得r?
6OPMP52013B 5、在区间?0,??中，方程sin12x?x的解的个数为 ． ◆答案：4
★解析：因为当x?1时，sin12x?1?x，方程无解；当x??0,1?时，3??12?4?，做出
y?sin12x及y?x的图像即可得到。
2013B 6、定义在实数上的函数f?x??sin?x1?x?x2?x?R?的最小值是 ．
◆答案：?23 3221231?33?★解析：因为x?x?1??x????，sin?x?1，知f(x)?， ?2?4433?4又当x??
2013B 7、设a,b为实数，函数f?x??ax?b满足：对任意x??0,1?，f?x??1，则ab的最大值为 ． ◆答案：
123231时，f(?)??，所以所求最小值为?。
23321 4★解析：由题意得a?f(1)?f(0)，b?f(0)
1111??所以ab?f(0)??f(1)?f(0)????f(0)?f(1)??f2(1)?f2(1)?，当且仅当
2444??2f(0)?f(1)??1，即a?b??2111时，ab?，故所求最大值为。 244
2013B 8、将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之一，则存在三个同色的顶点构成锐角三角形的概率为 ．
◆答案：
247 256★解析：若同一种颜色的顶点构成的凸多边形内部包含正九边形的外接圆圆心，则存在这种颜色的三个顶点，其构成的三角形也包含圆心，从而这个三角形是锐角三角形。反之，若某种颜色的顶点包含一个锐角三角形的顶点，则它们所生成的凸多边形就包含了正九边形外接圆的圆心。这样一来，如果红蓝两色的顶点生成的凸多边形都不包含圆心的话，那么这两种颜色的顶点分别落在外接圆的半圆中，这种情况发生的仅有的可能是红点是连续的4个顶点，或者是连续的5个顶点，它们各有9种情况。所以，所求的概率为P?1?18247 ?29256
二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2013B 9、（本题满分16分）已知数列?an?满足：a1?2，an?2?n?an?1?，n?2,3,的通项公式．
★解析：由题意列得a1?2，a2?8，an?2an?1?2n当n?3时，an?1?2an?2?2(n?1)，两式相减得an?an?1?2?2?an?1?an?2?2?，n?3，又a2?a1?2?8，可得
．求数列?an?an?an?1?2?8?2n?2?2n?1，累加法可得an?2n?2?2n?4，当n?1,2时，也适合。
n?2?2n?4． 所以数列?an?的通项公式为an?2
2013B 10、（本题满分20分）假设a,b,c?0，且abc?1，证明：a?b?c?a2?b2?c2． ★证明：法一：由柯西不等式得a?b?c?1?a?b?c?2，又由a?b?c?33abc?3，即3a?b?c112?1，所以a2?b2?c2??a?b?c???a?b?c??a?b?c??a?b?c 333222431313法二：由abc?1得a?abc。
2a2b2c212???a?a2?a2?a2?b2?c2?a8b2c2所以3666????16?abc?a
431313a22b2c2a2b22c2???b；???c，以上三式子相加可得原不等式。 同理636663
2013B 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy内，点F的坐标为?1,0?，点A,B在抛物线
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
