高中信息技术 全国青少年奥林匹克联赛教案 回溯法

信息学奥赛中的基本算法(回溯法)

如果上期的“百钱买百鸡”中鸡的种类数是变化的，用枚举法就无能为力了，这里介绍另一种算法——回溯法。

回溯基本思想

回溯法是一种既带有系统性又带有跳跃性的搜索法，它的基本思想是：在搜索过程中，当探索到某一步时，发现原先的选择达不到目标，就退回到上一步重新选择。它主要用来解决一些要经过许多步骤才能完成的，而每个步骤都有若干种可能的分支，为了完成这一过程，需要遵守某些规则，但这些规则又无法用数学公式来描述的一类问题。下面通过实例来了解回溯法的思想及其在计算机上实现的基本方法。

例1、从N个自然数(1,2,…,n)中选出r个数的所有组合。

算法分析：设这r个数为a1,a2,…ar,把它们从大到小排列，则满足： （1） a1>a2>…>ar;

（2） 其中第i位数(1<=i<=r)满足ai>r-i;

我们按以上原则先确定第一个数，再逐位生成所有的r个数，如果当前数符合要求，则添加下一个数;否则返回到上一个数，改变上一个数的值再判断是否符合要求，如果符合要求，则继续添加下一个数，否则返回到上一个数，改变上一个数的值……按此规则不断循环搜索，直到找出r个数的组合，这种求解方法就是回溯法。

如果按以上方法生成了第i位数ai，下一步的的处理为：

（1） 若ai>r-i且i=r，则输出这r个数并改变ai的值:ai=ai-1; （2） 若ai>r-i且i≠r，则继续生成下一位ai+1=ai-1;

（3） 若ai<=r-i，则回溯到上一位，改变上一位数的值:ai-1=ai-1-1; 算法实现步骤：

第一步：输入n,r的值，并初始化； i:=1;a[1]:=n; 第二步：若a[1]>r-1则重复：

若a[i]>r-i，①若i=r，则输出解，并且a[i]:=a[i]-1;

②若i<>r，则继续生成下一位：a[i+1]:=a[i]-1; i:=i+1;

若 a[i]<=r-i，则回溯：i:=i-1; a[i]:=a[i]-1; 第三步：结束； 程序实现

var n,r,i,j:integer;

a:array[1..10] of integer; begin

readln(n,r);i:=1;a[1]:=n; repeat

if a[i]>r-i then {符合条件 } if i=r then {输出}

begin

for j:=1 to r do write(a[j]:3); writeln;

a[i]:=a[i]-1; end

else {继续搜索}

begin a[i+1]:=a[i]-1; i:=i+1;end

else{回溯}

begin i:=i-1; a[i]:=a[i]-1;end; until a[1]=r-1; end.

下面我们再通过另一个例子看看回溯在信息学奥赛中的应用。

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例2 数的划分（noip2001tg）

问题描述 整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。 例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。 1，1，5; 1，5，1; 5，1，1; 问有多少种不同的分法。

输入：n，k (6

输入： 7 3

输出：4 {四种分法为：1,1,5; 1,2,4; 1,3,3; 2,2,3;} 算法分析：此题可以用回溯法求解，设自然数n拆分为a1,a2,…,ak,必须满足以下两个条件： （1） n=a1+a2+…+ak ；

（2） a1<=a2<=…<=ak (避免重复计算)；

现假设己求得的拆分数为a1,a2,…ai,且都满足以上两个条件,设sum=n-a1-a2-…-ai,我们根据不同的情形进行处理：

（1） 如果i=k,则得到一个解，则计数器t加1，并回溯到上一步，改变ai-1的值； （2） 如果i=ai,则添加下一个元素ai+1；

（3） 如果i

第一步：输入自然数n,k并初始化；t:=0; i:=1;a[i]:=1; sum:=n-1; nk:=n div k; 第二步：如果a[1]<=nk 重复：

若i=k，搜索到一个解，计数器t=t+1;并回溯； 否则：①若sum>=a[i]则继续搜索；

②若sum

搜索时，inc(i);a[i]:=a[i-1];sum:=sum-a[i]; 回溯时，dec(i); inc(a[i]); sum:=sum+a[i+1]-1; 第三步：输出。 程序如下： var

n,nk,sum,i,k:integer; t:longint;

a:array[1..6]of integer; begin

readln(n,k); nk:=n div k;

t:=0; i:=1;a[i]:=1; sum:=n-1;{初始化} repeat

if i=k then{判断是否搜索到底}

begin inc(t); dec(i);inc(a[i]); sum:=sum+a[i+1]-1; end {回溯} else begin

if sum>=a[i] then {判断是否回溯}

begin inc(i);a[i]:=a[i-1];sum:=sum-a[i];end{继续搜}

else begin dec(i); inc(a[i]); sum:=sum+a[i+1]-1; end;{回溯} end;

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until a[1]>nk; writeln(t); end.

回溯法是通过尝试和纠正错误来寻找答案，是一种通用解题法，在NOIP中有许多涉及搜索问题的题目都可以用回溯法来求解。

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