4.3.2 对数的运算 知识点一 对数的运算性质 若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN， M(2)logaN＝logaM－logaN， (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的． 知识点二 对数换底公式 logcblogab＝loga(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)． c特别地：logab·logba＝1(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)． 状元随笔 对数换底公式常见的两种变形 1(1)logab·logba＝1，即logb＝logba ，此公式表示真数与底数互换，a所得的对数值与原对数值互为倒数 . mm(2)logNM＝nlogNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真m数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的n倍． n[教材解难] 换底公式的推导 设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb. logcblogcb所以x＝loga，即logab＝loga. cc[基础自测] 1．下列等式成立的是( )
A．log2(8－4)＝log28－log24 log288B.log4＝log24 2C．log28＝3log22 D．log2(8＋4)＝log28＋log24 解析：由对数的运算性质易知C正确． 答案：C log492.log3的值为( ) 41A.2 B．2 39C.2 D.2 解析：原式＝log39＝2. 答案：B 3．2log510＋log50.25＝( ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：原式＝log5102＋log50.25 ＝log5(102×0.25)＝log525＝2. 答案：C 4．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________． ln 2a解析：log32＝ln 3＝b. a答案：b 题型一 对数运算性质的应用[教材P124例3] 例1 求下列各式的值： 5(1)lg 100； (2)log2(47×25)． 12【解析】 (1)lg100＝lg 100＝5lg 100＝5； 5(2)log2(47×25)＝log247＋log225 ＝7log24＋5log22
15
＝7×2＋5×1 ＝19. 利用对数运算性质计算． 教材反思 1．对于同底的对数的化简，常用方法是： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式． ?1?－15跟踪训练1 (1)计算：lg2＋2lg 2－?2?＝________. ??(2)求下列各式的值． 1①log53＋log53 ②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 2③lg 25＋3lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. ?1?－15解析：(1)lg2＋2lg 2－?2?＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)??－2＝1－2＝－1. 1??1?(2)①log53＋log53＝log53×3?＝log51＝0. ??②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 10③原式＝lg 25＋lg 8＋lg2·lg(10×2)＋(lg 2)2 ＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析
23
利用对数运算性质化简求值． 题型二 对数换底公式的应用[经典例题] 11xy例2 (1)已知2＝3＝a，x＋y＝2，则a的值为( ) A．36 B．6 C．26 D.6 (2)计算下列各式： ①log89·log2732. 2?3?3②2lg 4＋lg 5－lg 8－?38?. ??-1③643＋lg 4＋2lg 5. 【解析】 (1)因为2x＝3y＝a， 所以x＝log2a，y＝log3a， 1111所以x＋y＝loga＋loga＝loga2＋loga3＝loga6＝2， 23所以a2＝6，解得a＝±6. 又a＞0，所以a＝6. lg 9lg 32(2)①log89·log2732＝lg 8·lg 27 lg 32lg 252lg 35lg 210＝lg 23·lg 33＝3lg 2·3lg 3＝9. 2?3?31②2lg 4＋lg 5－lg 8－?38?＝lg 16＋lg 5－lg 8－＝?3????27?2?8???-16×5145lg8－3＝1－9＝9. ??2???2?1③643＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6. 【答案】 (1)D (2)见解析 状元随笔 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值． 2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．
方法归纳 (1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底． mm(2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganb＝nlogab. 跟踪训练2 (1)式子log916·log881的值为( ) 1A.18 B.18 83C.3 D.8 (2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于( ) 525A.6 B.12 9C.4 D．以上都不对 4844解析：(1)原式＝log322·log233＝2log32·3log23＝3. log38??log33log33?????＋log2＋(2)原式＝log4log8·3log9? ?33??3?1??3log32??1?log32＋?＝?2log2＋3log2?·2? ?33??5525＝6log2×2log32＝12. 3答案：(1)C (2)B 利用换底公式化简求值． 题型三 用已知对数表示其他对数 例3 已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645. 解析：方法一 因为log189＝a，所以9＝18a. 又5＝18b， 所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818. 111又因为log2×1818＝＝＝＝18log18?18×2?1＋log1821＋log189a＋b11＝，所以原式＝. 1＋1－log1892－a2－a方法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.
2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册(课件+讲义+课时作业)4.3.2
