2024年中考必做的压轴题及变式训练
压轴类型一：抛物线解析式
例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?mx?2mx?2（m?0）与y轴交于点A，
2其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（3）若该抛物线在?2?x??1这一段位于直线l的上方，并且在2?x?3这一段位于
直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
解：（1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 . ∴ A（0，－2）． 抛物线对称轴为 x＝?∴ B（1，0）．
（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A（2，－2） 则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y＝kx＋b ?2k?b??2,?k??2,解得则? ??k?b?0.?b?2.?2m?1， 2m∴直线的解析式为 y＝－2x ＋2． （3）∵抛物线对称轴为 x ＝1
抛物体在 2 第 1 页 共 29 页 当 x＝－1 时， y＝－2x(－1)＋2 ＝4 则抛物线过点（－1，4） 当 x＝－1 时， m＋2m －2＝4 ， m＝2 ∴抛物线解析为 y＝2x2 －4x－2 . 变式训练 1、已知二次函数y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m为常数，且a≠0）. （1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C.与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D. ①当△ABC的面积等于1时，求a的值； ②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值. 【答案】（1）证明：y＝a（x－m）2－a（x－m）＝ax2－（2am＋a）x＋am2＋am. 因为当a≠0时，［－（2am＋a）］2－4a（am2＋am）＝a2＞0. 所以，方程ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根. 所以，不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点. ………3分 （2）解：①y＝a（x－m）2－a（x－m）＝a（x－所以，点C的坐标为（ 2m?12a）－， 242m?1a，－）. 24当y＝0时，a（x－m）2－a（x－m）＝0.解得x1＝m，x2＝m＋1.所以AB＝1. 当△ABC的面积等于1时，所以 a1×1×?＝1. 421a1a×1×（－）＝1，或×1×＝1. 2424所以a＝－8，或a＝8. 第 2 页 共 29 页 ②当x＝0时，y＝am2＋am.所以点D的坐标为（0，am2＋am）. 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时， a11×1×?＝×1×am2?am 4221a11a1×1×（－）=×1×（am2＋am），或×1×=×1×（am2＋am）. 242242所以m＝－ 2.已知二次函数y?(t?1)x2?2(t?2)x?（1） 求二次函数的解析式； （2） 若一次函数y?kx?6的图象与二次函数的图象都经过点A(?3，m)，求m和k的值； （3） 设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在 点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n(n?0)个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y?kx?6向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G有公共点时，n的取值范围。 3在x?0和x?2时的函数值相等。 2?1?2?1?21，或m＝，或m＝.………9分 222 【答案】（1） ①方法一：∵二次函数y?(t?1)x2?2(t?2)x?时的函数值相等 3在x?0和x?2233?4(t?1)?4(t?2)?. 223∴t??. 2∴ 13∴这个二次函数的解析式是y??x2?x? 22②方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为x?1 2(t?2)?1 2(t?1)3∴t??. 2则?13∴这个二次函数的解析式是y??x2?x? 22. （2）∵二次函数的图象过A(?3,m)点. 第 3 页 共 29 页
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