天津市育贤中学数学几何模型压轴题中考真题汇编[解析版]
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．
（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．
（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．
（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．
【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32． 【解析】 【分析】
（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE（SAS）即可解决问题；
（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；
（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C共线时，分别求解即可． 【详解】
解：（1）结论：DE＝2DG．
理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°， ∵∠AEF＝∠B＝90°，
∴EF∥CM， ∴∠CMG＝∠FEG， ∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF， ∴△CMG≌△FEG（AAS）， ∴EF＝CM，GM＝GE， ∵AE＝EF， ∴AE＝CM，
∴△DCM≌△DAE（SAS）， ∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM， ∴∠EDM＝∠ADC＝90°， ∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM， ∴△EGD是等腰直角三角形， ∴DE＝2DG．
（2）如图2中，结论成立．
理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．
∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM， ∴△CGM≌△FGE（SAS）， ∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF， ∴CM∥ER， ∴∠DCM＝∠ERC， ∵∠AER+∠ADR＝180°， ∴∠EAD+∠ERD＝180°， ∵∠ERD+∠ERC＝180°， ∴∠DCM＝∠EAD， ∵AE＝EF， ∴AE＝CM，
∴△DAE≌△DCM（SAS）， ∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM， ∴∠EDM＝∠ADC＝90°， ∵EG＝GM， ∴DG＝EG＝GM，
∴△EDG是等腰直角三角形，
∴DE＝2DG．
（3）①如图3﹣1中，当E，F，C共线时，
在Rt△ADC中，AC＝AD2?CD2＝52?52＝52，
在Rt△AEC中，EC＝AC2?AE2＝(52)2?12＝7， ∴CF＝CE﹣EF＝6，
1CF＝3， 2∵∠DGC＝90°，
∴CG＝
∴DG＝CD2?CG2＝52?32＝4， ∴DE＝2DG＝42．
②如图3﹣3中，当E，F，C共线时，同法可得DE＝32．
综上所述，DE的长为42或32． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB?3,AD?4,AE?BD，垂足是E.点F是点
E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AF和BE的长；
（2）若将ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值． （3）如图②，将ABF绕点B顺时针旋转一个角a(0??a?180?)，记旋转中ABF为
A'BF'，在旋转过程中，设A'F'所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的
长；若不存在，请说明理由．
129916,BF?；（2）m?或m?；（3）存在4组符合条件的点
555525910?5或或P、点Q，使DPQ为等腰三角形； DQ的长度分别为2或
5835?10． 5【解析】 【分析】
（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
【答案】（1）AF?（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可． 【详解】
（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB=3，AD=4， 由勾股定理得：BD=∵S△ABD?∴AE=
AB2?AD2?32?42?5，
11BD?AE=AB?AD， 22AB?AD3?412??， BD5512，BF=BE， 5∵点F是点E关于AB的对称点， ∴AF=AE?∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=3，AE?212， 52229?12?由勾股定理得：BE?AB?AE?3????； 5?5?（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE?9， 5由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′?①当点F′落在AB上时， ∵AB∥A′B′， ∴∠3=∠4，
根据平移的性质知：∠1=∠4， ∴∠3=∠2， ∴BB′=B′F′?9， 599，即m?； 55②当点F′落在AD上时， ∵AB∥A′B′，AB⊥AD， ∴∠6=∠2，A′B′⊥AD， ∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6， 又知A′B′⊥AD， ∴△B′F′D为等腰三角形， ∴B′D=B′F′?9， 5∴BB′=BD-B′D=5-
16916?，即m?； 555（3）存在．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，
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