2）最小实现实现步骤。??
W(s)为严格真有理分式阵时,最小实现步骤:(1).先选能控或能观实现:Σ=(A,B,C);(2)对初选Σ=(A,B,C)找出既能控又?
~~~
能观部分Σc.o=(A1,B1,C1),即为W(s)的最小实现.
?
举例：?
11??
W(s)=?
?(s+1)(s+2)(s+3)(s+2)??
s+3s+1(s+3)(s+1)]??[?=?=32?(s1)(s2)(s3)(s1)(s2)(s3)s6s11s6+++++++++??[11]s+[31];=3
s+6s2+11s+6
1）首先确定维数：W为1*2维的传递函数阵，因此输入维数m=1，输出维数r=2.??2）确定D和beta系数阵。?
3）实现为能控I型或者能观II型。?
???若实现为能控I型：A的矩阵维数实现为：n*m=3；实现为能控I型，再判断是否能观；?
?
???若实现为能观II型：A的矩阵维数实现为：?n*r=3*2=6;?实现为能观II型，再进行能观性分解。??
Section?10：传递函数中零极相消与状态能控性和能观性间关系?????前面的最小实现的状态变量维数与系统阶数的关系。?1、 单输入单输出系统能控能观的充要条件是:?
&=Ax+bu?x
Σ=(A,b,c):?
?y=cx?
???的传递函数不出现零极相消.?
2、 多输入多输出系统传递函数不出现零极相消,只是系统能控能观的充分条件,非必要条件.?3、 单输入单输出系统传递函数若出现零极相消,是不能控还是不能观??
例子：既不能保证是能控的，也不能保证是能观的。????????
86?
?
第四章?稳定性与李雅普诺夫方法?提问：?
1、个人所理解的系统稳定性是指什么？?
2、自控原理中，曾经学过的系统稳定性含义是什么？如何判定的？?
本章学习内容：李雅普诺夫关于稳定性的定义和判定系统是否是李雅普诺夫稳定的？??
一、系统的运动状态和平衡状态。?
1、系统的运动状态：外界输入为0，从初始点X0开始，系统的状态存在唯一解?X(t)=Φ(t,?x0,?t)。此时，X(t)在状态空间中随着时间变化而转移，形成一条状态运动轨迹。?
问题：状态时收敛的？发散的？?
2、平衡状态：状态的一阶导数为0，即按照能量的观点，能量既不增加也不减少。?问题：平衡状态如何确定？平衡状态是否是稳定的？（给一点扰动，能否再回到平衡状态？）?
1）线性系统X’=AX的平衡状态为？?2）非线性系统的平衡状态？举例。?
总结：对于线性系统，原点总是平衡状态，因此存在某个线性系统是否稳定的概念，指的就是在唯一平衡点的稳定性；对于非线性系统，可能存在多个平衡状态，对每个平衡状态是否稳定是不确定的，因此对于非线性系统，不存在系统稳定性的概念，而只存在某个平衡状态附近是否稳定的概念。?
以下讲述李雅谱诺夫对于状态稳定的理论。?二、几个基本定义：?
1）范数：本质为在多维空间上的距离定义，用||?||表示，可以定义1范数、2范数…无穷范数。?
2）半径为ε的超球体；?
3）Xe（平衡状态）的邻域：超球体内状态所构成的空间；?
4）自由响应有界问题：自由响应？外界输入为零时系统的响应；有界？存在上限。数学定义：平衡态Xe，x=f[x,t],x0∈s(ε)，?
?
若解x(t;x0,t0)∈s(ε),t≥t0.则x(t;x0,t0)?xe≤ε
三、李雅谱诺夫关于稳定的定义?
阐述某个平衡态Xe是否稳定的定义。?1、李雅谱诺夫意义下的稳定?
?
若系统对任意选定正实数ε,存在另一正实数δ(ε,t0).使x0?xe≤δ(ε,t0)时,从任意初态x0出发的解均满足x(t;x0,t0)?xe≤ε,t0≤t<∞,称xe李亞普诺夫意义下稳定.
若δ与t0无关,称xe一致稳定.?
可以理解为运动轨迹不超过s(ε)。通常，δ小于等于ε。?
2、渐进稳定。初始状态在s(δ)内出发的运动轨迹不超过s(ε),?且最终收敛于Xe；?
3、大范围渐进稳定。状态空间中的所有初始状态出发的轨迹都收敛于Xe。可以理解为ε的大小没有限制。?
87?
?
4、不稳定。s(δ)内出发的轨迹，至少有一条越过了s(ε)。?四、如何判定系统平衡点是否是李雅谱诺夫稳定的？?1、李雅谱诺夫第一方法?1）线性系统?
???x=Ax+bu
Σ=(A,b,c):?;xe=0?
??y=cx
状态稳定？u=0，X(t)是否收敛到Xe？?
X(t)=??Te∧tT‐1X0。?
结论：平衡状态渐进稳定的条件为矩阵A的所有特征值均具有负实部。?工程更关注输出稳定，如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定的。问题：如何判定??系统输出稳定等同于经典理论中的稳定性定义，因此系统稳定的充要条件为：系统的闭环极点在s的左半平面（具有负实部），可用劳斯判据判定。?
举例。仿真。?
状态稳定和输出稳定的关系？结论：状态稳定，输出稳定；状态不稳定，输出也可能稳定，原因在于不稳定的部分相互抵消或者输出与不稳定的状态无关；系统输出稳定且状态能控能观（不出现零极点对消）时，系统状态稳定。?2）非线性系统的稳定性。?
??基本方法：在平衡点附近线性化后，再进行判断。?????①线性化方法是什么??尤其是针对多个变量？?
②线性化后根据线性系统的平衡态判定方法判定平衡状态的稳定性。?举例4‐2。仿真。?
说明：线性系统的平衡态只有一个，因此平衡态的稳定性就是系统的稳定性；而非线性系统可能存在多个平衡态，因此只能说某个平衡态是否是稳定的，或者李雅谱诺夫稳定的，渐进稳定的，或者大范围渐进稳定的。?2、李雅谱诺夫第二方法。?
第一方法存在的问题：线性系统判定计算复杂，而非线性系统在很多时候难以判定。因此，提出了第二方法。第二方法思想：从能量的观点，若某一系统受到激励（扰动）后，其存储能量随时间衰减，到底平衡态时能量最小，则平衡状态渐进稳定；反之，若存储能量随着时间增大，则平衡状态不稳定；若系统既不从外界吸取能量也不消耗能量，咋平衡状态就是李雅谱诺夫意义下的稳定。?
问题：对于一个系统，如何根据状态定义能量？能量在某个平衡点附近时消耗还是吸收的判断？?
①?能量函数：?
????标量函数V(x)及其符号：关于向量x的函数，在0处，V(x)=0，其他：V(x)>0正定？<0负定？>=0半正定？<=0半负定？?不定？举例。?
能量函数应为正定的函数。通常选择正定的二次型标量函数。?
????二次型标量函数：各项的变量最高次数为2，不存在某个变量的一次项。可以表示为：V(x)=xTpx，p为实对称矩阵。根据矩阵理论，该二次型标量函数可以转化为：V(x)=xTpx?
x=Tx,使V(x)=xTpx=(Tx)Tp(Tx)=xTTTpTx=xTT?1pTxλ0??1n
?TT?2
=xpx=x?Ox=λx;∑ii?i=1
??0λn??
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现代控制理论讲义4
