2015年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生考试
数学试题
本试卷共4页，24小题，满分150分。考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M=?1,4?,N=?1,3,5?，则M∪N=（ ）
A.?1? B.?4,5? C.?1,4,5? D.?1,3,4,5? 1.D【解析】∵M=?1,4?,N=?1,3,5?，∴M∪N=?1,3,4,5?. 2.函数f?x??1?x的定义域是（ ）
A.??∞,?1? B.??1,?∞? C.??∞,1? D.??∞,?∞? 2.B【解析】由题意得，1+x≥0，∴x≥－1. 3.不等式x2?7x?6＞0的解集是（ ） A.?1,6? B.??∞,1?2?6,?∞? C.? D.??∞,?∞?
3.B【解析】x?7x?6＞0??x?1??x?6?＞0，∴x<1或x>6. 4.设a>0且a≠1，x,y为任意实数，则下列算式错误的是（ ） A.a?1 B.a?a?a4.D【解析】ax0xyx?y22ax C.y?ax?y D.?ax??ax
a??2?a2x,故选D.
5.在平面直角坐标系中，已知三点A?1,?2?,B?2,?1?,C?0,?2?,则AB?BC=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.A【解析】AB?BC?AC???1,0??1. 6.下列方程的图像为双曲线的是（ ）
A.x2?y2?0 B.x2?2y C.3x2?4y2?1 D.2x2?y2?2 6.D【解析】由双曲线的定义可知，只有D选项为双曲线.
7.已知函数f?x?是奇函数，且f?2??1，则??f??2???=（ ） A.－8 B.－1 C.1 D.8
7.B∵f?x?是奇函数，∴f??2???f?2???1，∴?【解析】且f?2??1，?f??2???= ??1?=－1
3338.“0 A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.非充分非必要条件 8.C【解析】当0 12 B. C.1 D.2 332π9.B【解析】T???3π，∴??2. 310.当x>0时，下列不等式正确的是（ ） A.x?C.x?444 B.x?4 xx448 D.x?8 xx4442x??4，当且仅当x? ，即x=2时， xxx10.B【解析】由基本不等式可知，x?等号成立. 11.已知向量a??sin?,2?,b??1,cos??.若a?b，则tan?=（ ） A.?11 B. C.－2 D.2 22sin??2cos????2. cos?cos?1，则log3a2?log3a3=（ ） 31??1. 311.C【解析】∵a?b，∴a?b?0，即sin??2cos??0，∴sin???2cos?， ∴tan??12.在各项为正数的等比数列?an?中，若a1?a4?A.－1 B.1 C.－3 D.3 12.A【解析】log3a2?log3a3?log3?a2?a3??log3?a1?a4??log32213.若圆?x?1???y?1??2与直线x?y?k?0相切，则k=（ ） A.±2 B.?2 C.?22 D.±4 13.A【解析】由题意得，圆心为?1,?1?，半径为2，d?1?1?k1?1?2，解得k=±2. 14.七位顾客对某商品的满意度（满分为10分）打出的分数为：8,5,7,6,9,6,8.去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的平均值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 14.B【解析】去掉一个最高分和最低分后，所剩数据为8,7 ,6,6,8， 所以x?8?7?6?6?8?7. 515.甲班和乙班各有两名男羽毛球运动员，从这四人中任意选取两人配对参加双打比赛，则这对运动员来自不同班的概率是（ ） A. 1124 B. C. D. 323315.C【解析】记甲班的两名男羽毛球运动员为男1，男2，乙班的两名男羽毛球运动员为男3，男4，所以一共有（男1，男2），（男1，男3），（男1，男4），（男2，男3），（男2，男4），（男3，男4）6种可能，其中来自不同班的有（男1，男3），（男1，男4），（男2，男3），（男2，男4）4种，所以概率为P?42?. 63二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分. 16.若等比数列?an?满足a1=4,a2=20，则?an?的前项和Sn= . nna20a1?q4?1?5????21??5，S?16.5n?1【解析】q???5n?1. na141?q1?517.质检部门从某工厂生产的同一批产品中随机抽取100件进行质检，发现其中5件不合格品，由此估计这批产品中合格品的概率是 . 17.0.95【解析】由题意可知合格的产品数量为95件，故这批产品中的合格品的概率为 95=0.95. 10018.已知向量a和b的夹角为 3π，且a?2 ,b?3，则a?b= . 4?2?2?3????2????3. ??18.－3 【解析】a?b=a?b?cosa,b?19.在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知a=3,c=1,cosB=b= . 1，则3a2?c2?b2119.22【解析】由余弦定理可得cosB??，将a=3,c=1代入可得 2ac3b=22. 20.已知点A(2,1)和点B??4,3?，则线段AB的垂直平分线在y轴上的截距为 . 20.5 【解析】kAB??13?11?3，设??，则线段AB的垂直平分线的斜率为k?k?4?23AB?2?41?3?,线段AB的中点为Q,则Q点的坐标为??，即Q点的坐标为(－1,2)，设AB的垂2??2直平分线的解析式为y=3x+b，代入Q点可得2?3???1??b，即b=5. 三、解答题：本大题共4小题，第21,22,24题各12分，第23题14分，满分50分.解答须 写出文字说明、证明过程和演算步骤. 21.某单位有一块如图所示的四边形空地ABCD，已知∠A=90°，AB=3m，AD=4m,BC=12m，CD=13m. （1）求cosC的值； （2）若在该空地上种植每平方米100元的草皮，问需要投入多少资金？ 第21题图 21.【解】（1）连结BD，则△ABC为直角三角形， ∴BD?，（2分） AB2?AD2?9?16?5（m） ∴BD2?BC2?25?144?196?132?CD2， ∴△CBD为直角三角形，∠CBD=90°，（2分）故cosC?∵四边形ABCD的面积=S△BAD?S△CBD?（2） （元），∴种植草皮需要投入资金3600元.(6分) 22.已知函数f?x??acos?x?（1）求a的值； （2）若sin??BC12?；（2分） CD1311100×36=3600?3?4??12?5?36， 22??π??π1?的图像经过点??,??. 6??22?1π,0＜?＜，求f???. 321π1?a1?ππ?????，即?asin??，??， 26222?26?22.【解】（1）由题意知，acos?∴a=1；（4分）（2）∵sin??1π122,0＜?＜，∴cos??1?sin2??1??，3293（4分） 故f????cos?????π?ππ61?cos??cos?sin??sin??.（4分） ?6?663623.在等差数列?an?中，已知a4=9,a6?a7=28. （1）求数列?an?的通项公式； （2）求数列?an?的前n项和Sn； （3）若bn?11*n?NTb??n. T＜，数列的前项和为，证明：??2nnnan?1423.【解】（1）设?an?的公差为d，则有a +3d=9①，a1?5d?a1?6d?28，即 *2a1?11d?28②，由①②解得a1=3,d=2，（2分）故an?a1??n?1?d?2n?1n?N； ??（2分） （2）Sn??3?2n?1?n?n2（4分） ?n?2?； （3）∵bn?1111?11????=2?， an?1?2n?1?2?14n?n?1?4??nn?1?∴Tn?b1?b2??bn?1??11??11?????????4???12??23?1???1????? nn?1???= 1?11???? ， 4?1n?1?∴Tn＜.（4分） 24.已知中心在坐标原点，两个焦点F1,F2在x轴上的椭圆E的离心率为 144，抛物线5y2?16x的焦点与F2重合. （1）求椭圆E的方程； （2）若直线y?k?x?4??k?0?交椭圆E于C，D两点，试判断以坐标原点为圆心，周长等于△CF2D周长的圆O与椭圆E是否有交点？请说明理由. x2y2224.【解】（1）设椭圆E的方程为2?2?1?a＞b＞0?，因为抛物线y?16x的焦点 ab坐标为（4,0），所以c=4,F1??4,0?,F2?4,0?.（2分）又因为 c4?，所以a5
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