1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
?x?1?t2,d2y(1) 设? 则2=__________.
dxy?cost,?(2) 由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分
dz=__________.
(3) 已知两条直线的方程是L1:x?1y?2z?3x?2y?1z；L2:????,则过L1且平
10?1211行于L2的平面方程是__________.
(4) 已知当x?0时,(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=__________.
123?5 2 0 0???2 1 0 0?,则A的逆阵A?1=__________. (5) 设4阶方阵A???0 0 1 ?2???0 0 1 1??
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线y?1?e?x1?e2?x2 ( )
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数f(x)满足关系式f(x)??2x0?t?f??dt?ln2,则f(x)等于 ( ) ?2?2x (A) eln2 (B) eln2
(C) e?ln2 (D) e(3) 已知级数
x2xx?ln2
?(?1)n?1?n?1an?2,?a2n?1?5,则级数?an等于 ( )
n?1n?1?? (A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9
(4) 设D是xOy平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象
限的部分,则 (A) 2(C) 4??(xy?cosxsiny)dxdy等于 ( )
DD1??cosxsinydxdy (B) 2??xydxdy
D1??(xy?cosxsiny)dxdy (D) 0
D1(5) 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB?E (B) CBA?E
(C) BAC?E (D) BCA?E
三、(本题满分15分,每小题5分.)
?x)x. (1) 求lim(cos?x?0(2) 设n是曲面2x?3y?z?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数
2226x2?8y2在点P处沿方向n的方向导数. u?z?y2?2z,(3) ???(x?y?z)dV,其中?是由曲线?绕z轴旋转一周而成的曲面与平面
?x?0?22z?4所围成的立体.
四、(本题满分6分)
在过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线从
O到A的积分?(1?y3)dx?(2x?y)dy的值最小.
L
五、(本题满分8分.)
将函数f(x)?2?|x|(?1?x?1)展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数
1的和. ?2nn?1
六、(本题满分7分.)
?设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3?123f(x)dx?f(0),证明在(0,1)内存在
一点c,使f?(c)?0.
七、(本题满分8分.)
已知?1?(1,0,2,3),?2?(1,1,3,5),?3?(1,?1,a?2,1),?4?(1,2,4,a?8),及
??(1,1,b?3,5).
(1) a、b为何值时,?不能表示成?1、?2、?3、?4的线性组合
(2) a、b为何值时,?有?1、?2、?3、?4的唯一的线性表示式并写出该表示式.
八、(本题满分6分)
设A为n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1.
九、(本题满分8分)
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1) 若随机变量X服从均值为2,方差为?的正态分布,且P?2?X?4??0.3,则
2
P?X?0?=_______.
(2) 随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概
率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于
十一、(本题满分6分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?的概率为_______. 4?2e?(x?2y), x?0,y?0f(x,y)??,
?0, 其他
1991年考研数学一试题及完全解析
