2
5、(2024·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，
3→→
则FM·FN＝( )
A．5
B．6 C．7 D．8
【答案】D
2??y＝x＋2，23【解析】由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)．联立?消去y并整理，得x2－5x＋4
3
??y2＝4x，→→
＝0.解得xN＝1，xM＝4.所以yN＝2，yM＝4.又抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以FM＝(3,4)，FN＝(0,2)．所→→
以FM·FN＝3×0＋2×4＝8.故选D.
26、（2017·全国高考）过抛物线C:y?4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M（在x轴上方），
l为C的准线，点N在l上且MN?l，则点M到直线NF的距离为（ ）
A.23 【答案】A
【解析】设直线l与x轴相交于点P，与直线MN相交于点Q，F(1,0)，
B.33 C.5 D.22
设|MN|?|MF|?m，因为|PF|?2,?NQM?30，所以|QF|?4,|QM|?2m， 所以4?m?2m，解得：m?4，设M(x0,y0)，由焦半径公式得：x0?1?4， 所以x0?3，y0?23， 所以sin?MNF?sin?NFP?NP233， ??NF42第 1 页 / 共 3 页
所以点M到直线NF的距离为|NM|?sin?MNF?4?3?23. 27、(2024·全国卷Ⅰ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
【答案】2
y
【解析】解法一：由题意可知C的焦点坐标为(1,0)，所以过焦点(1,0)，斜率为k的直线方程为x＝＋1，
设A?y1?k＋1，yy1??，B?2
?k＋1，y2??
， ?将直线方程与抛物线方程联立得??x＝yk＋1，
?
?y2＝4x，整理得y2－4
ky－4＝0，
从而得y4
1＋y2＝k，y1·y2＝－4.
∵M(－1,1)，∠AMB＝90°， ∴MA→·MB→
＝0，
即?y1?k＋2??·?y2?k＋2??＋(y1－1)(y2－1)＝0， 即k2－4k＋4＝0，解得k＝2.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则???y21＝4x1，①??y2 2＝4x2
，②
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k
2
②－①得y22－y1＝4(x2－x1)，
y2－y14从而k＝＝.
x2－x1y1＋y2
设AB的中点为M′，如图，连接MM′. ∵直线AB过抛物线y2＝4x的焦点，
∴以线段AB为直径的⊙M′与准线l：x＝－1相切． ∵M(－1,1)，∠AMB＝90°，
∴点M在准线l：x＝－1上，同时在⊙M′上， ∴准线l是⊙M′的切线，切点为M，且M′M⊥l， 即MM′与x轴平行， ∴点M′的纵坐标为1， 即
y1＋y2
＝1?y1＋y2＝2， 2
44
故k＝＝＝2.
y1＋y22
28、（2024届山东省潍坊市高三上期末）已知P是抛物线y?4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点
A的坐标为?2,3?，则PA?PM的最小值是__________．
【答案】10?1
【解析】设抛物线的焦点是F?1,0?， 根据抛物线的定义可知PM?PF?1
?PA?PM?PA?PF?1，
当A,P,F三点共线时，等号成立，
PA?PF?AF，
?PA?PM的最小值是AF1，
AF??2?1???3?0?22?10，
?PA?PM的最小值是10?1.
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故答案为：10?1
9、（2024届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线y?2px?p?0?的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛
2物线于M，N两点，则p=_______，
NF9?4的最小值为______． MF【答案】p?8
1 32【解析】∵ 抛物线y?2px?p?0?的焦点为F(4，0)， ∴ p?8，
∴ 抛物线的方程为y?16x，
设直线l的方程为x?my?4，设M?x1,y1?，N?x2,y2?，
2
?y2?16x2由?得y?16my?64?0， ?x?my?4∴y1?y2?16m，y1y2??64， 由抛物线的定义得
x?4?x1?4my?4?my1?4?811m?y1?y2??1611??2?2???MFNFx1?4x2?4?x1?4??x2?4??my1?8??my2?8?m2y1y2?8m?y1?y2??64第 1 页 / 共 3 页
116m?16??， ?2224?64m?128m?6464m?1∴
216m2?1????NF9??1NFNF4441?NF1???1??4???， ?2??1??4NF?3MF9NF99NF??当且仅当
NF?4即NF?6时，等号成立， 9NF故答案为：13．
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第54讲 抛 物 线(教师版) 备战2024年新高考数学微专题讲义
