2
易知点O到直线AB的距离为d＝p.
5
12525p25
∴S△AOB＝×p×p＝＝，∴p2＝1，又p＞0，∴p＝1.
28588
变式1、已知点F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，点P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为__________．
【答案】x＝－2
xy?22?－23a2＝1，xya【解析】 将双曲线方程化为标准方程得2－2＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立??x
a3a
??y2＝8ax
?|PF1|＋|PF2|＝12，?
＝3a，即点P的横坐标为3a.而由??|PF2|＝6－a，又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦
??|PF1|－|PF2|＝2a
2
2
点相同，所以|PF2|＝3a＋2a＝6－a，解得a＝1，所以抛物线的准线方程为x＝－2.
变式2、（黑龙江省鹤岗一中2019届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x B.x2＝－8y C．y2＝－8x或x2＝－y 【答案】D
【解析】设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故抛物线方程为y2＝－x或x2＝－8y.
变式3、（山西省临汾一中2019届模拟）直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－12x B.y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x 【答案】B
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的x1＋x2
距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.
2方法总结：1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必
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D．y2＝－x或x2＝－8y
要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算
考点三 综合考查直线与抛物线的问题
例3、如图，已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均
在抛物线上． (1)求抛物线的方程；
(2)若∠APB的平分线垂直于y轴，求证：直线AB的斜率为定值．
【解析】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．∵点P(2，1)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程为x2＝4y.
(2)由题意知kAP＋kBP＝0，∴
y1－1y2－1
＋＝0， x1－2x2－2
x2x212－1－144x1＋2x2＋2∴＋＝0，∴＋＝0，
44x1－2x2－2
2x2
x12－y1－y244x1＋x2
∴x1＋x2＝－4，∴kAB＝＝＝＝－1，∴直线AB的斜率为定值－1.
4x1－x2x1－x2
变式1、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在抛物线y2＝2px(p>0)上．
(1)求p，t的值；
(2)过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上，若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求点C
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的坐标．
【解析】 (1)将点A(8，－4)代入y2＝2px，得p＝1.将点P(2，t)代入y2＝2x，得t＝±2.∵t<0，∴t＝－2.
24??y＝－x＋，2433，解得B (2)由题意知，点M的坐标为(2，0)，直线AM的方程为y＝－x＋.联立?33
??y2＝2x
?1，1?，∴k1＝－1，k2＝－2，代入k1＋k2＝2k3，得k3＝－7，故直线PC的方程为y＝－7x＋1，联立
?2?3663
?
?71?y＝－6x＋3
24y＝－x＋，
33
8－2，?. ，解得C?3??
变式2、过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 C．5
【答案】 B
【解析】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．
??y＝kx－1
由?2
?y＝4x?
9
B. 2D．6
，
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得 xA＋1＝2(xB＋1)， 即xA＝2xB＋1，② 1
由①②解得xA＝2，xB＝，
29
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
2
[应用结论] 法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，
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由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
|AE|18
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝22，则sin2θ＝8cos2θ，所以sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用
|AB|392p9
弦长公式|AB|＝2＝.
sinθ2
法二：因为|AF|＝2|BF|，9
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
2
方法总结：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
五、优化提升与真题演练
1、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A．2 C．6 【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|?xA?故选：C．
22、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）设O为坐标原点，直线x?2与抛物线C：y?2px(p?0)1111323
＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3， |AF||BF|2|BF||BF|2|BF|p2
B．3 D．9
pp?12，即12?9?，解得p226.
交于D，E两点，若OD?OE，则C的焦点坐标为（ ） A． ?,0? C． (1,0) 【答案】B
?1?4??
B． ?,0? D． (2,0)
?1?2??
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【解析】因为直线x?2与抛物线y?2px(p?0)交于E,D两点，且OD?OE， 根据抛物线的对称性可以确定?DOx??EOx?2?4，所以D?2,2?，
代入抛物线方程4?4p，求得p?1，所以其焦点坐标为(,0)， 故选：B．
3、（2020年高考北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作
1
2
PQ?l于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ）
A． 经过点O C． 平行于直线OP 【答案】B
【解析】如图所示：
B． 经过点P D． 垂直于直线OP
．
因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQ?PF，所以线段FQ的垂直平分线经过点P. 故选：B．
4、（2019·全国高考）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆A．2 C．4 【答案】D
B．3 D．8
x23p?y2p?1的一个焦点，则p=（ ）
x2y2p??1的一个焦点，所以【解析】因为抛物线y?2px(p?0)的焦点(,0)是椭圆
3pp22p3p?p?()2，解得p?8，故选D．
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第54讲 抛 物 线(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
