第54讲 抛 物 线
一、课程标准
1、了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
二、基础知识回顾 1、、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2 、抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px 标准方程 (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线 范围 开口方向 焦半径(其中P(x0，y0)) O(0,0) x轴 p?F??2，0? e＝1 p x＝－ 2x≥0，y∈R 向右 p x＝ 2x≤0，y∈R 向左 p y＝－ 2y≥0，x∈R 向上 p y＝ 2y≤0，x∈R 向下 p－，0? F??2?y轴 p0，? F??2?p0，－? F?2?? |PF|＝ p x0＋ 2|PF|＝ p －x0＋ 2|PF|＝ p y0＋ 2|PF|＝ p －y0＋ 23 、 与焦点弦有关的常用结论
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝
p2. 4
2p
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2(θ为AB的倾斜角)．
sinθ112(3)＋为定值. |AF||BF|p
(4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 三、自主热身、归纳总结
1、抛物线y2＝4x的准线方程为( )
A. x＝1 B. x＝－1 C. y＝1 D. y＝－1 【答案】 B
p
【解析】 由题意得抛物线的焦点在x轴上，且2p＝4，即p＝2，所以抛物线的准线方程为直线x＝－＝－21.
2、 设抛物线y2＝8x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】 B
【解析】 如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足为A，延长PA交直线l于点B，则AB＝2.因为点P到y轴的距离为4，所以点P到准线l的距离PB＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离PF＝PB＝6.故选B.
3、过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )
A．9 C．7 【答案】B
【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋
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B．8 D．6
1＝x1＋x2＋2＝8.
4、拋物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是( )
a?A.??2，0?
a??a?
B.??2，0?或?－2，0?
111
0，? D.?0，?或?0，－? C.?8a??8a??8a??【答案】C
11
0，?.故选C. 【解析】抛物线的方程化成标准形式为x2＝y(a≠0)，其焦点在y轴上，所以焦点坐标为??8a?2a5、已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程为________． 【答案】y2＝±4 2x
p
【解析】：由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝2，所
2以p＝2 2，所以抛物线方程为y2＝±4 2x.
6、设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________． 【答案】[－1,1]
【解析】：Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝64(1－k2)≥0得－1≤k<0或0 四、例题选讲 考点一 抛物线的定义及其应用 例1 (1)已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为____． (2)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____． 【答案】（1）y2＝－8x或x2＝8y （2）y2＝4x 【解析】 (1)直线x－y＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－2，0)和(0，2)，当焦点为(－2，0)时，抛物线焦点在x轴负半轴上，且p＝4，则抛物线方程为y2＝－8x；当焦点为(0，2)时，抛物线焦点在y轴正半轴上且p＝4，则抛物线方程为x2＝8y；故抛物线方程为y2＝－8x或x2＝8y. (2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 变式1、(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为( ) 1 A. 2 B．1 第 1 页 / 共 3 页 3C. 2 D．2 (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 【答案】 (1)B (2)4 【解析】 (1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 又点P到焦点F的距离为2， ∴由定义知点P到准线的距离为2. ∴xP＋1＝2，∴xP＝1. 代入抛物线方程得|yP|＝2， 11 ∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1. 22 (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. 变式2、(1)定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为( ) 1 A. B．1 23 C. D．2 2 (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为__________． 【答案】(1)B (2)4 1 【解析】 (1)如图所示，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于 2l，垂足分别为A′，B′，M′.由抛物线定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得|MM′|1111331＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，则M到y轴的距离d≥－＝1(当且仅当AB过抛物线的焦2222222点时，等号成立)，所以dmin＝1，即点M到y轴的最短距离为1. 第 1 页 / 共 3 页 (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.故|PB|＋|PF|的最小值为4. 方法总结：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 考点二 抛物线的标准方程及其几何性质 例2 已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝4|FB|，O为5 坐标原点，若△AOB的面积为，求p的值． 8 p?p，0，准线为x＝－， 【解析】 易知抛物线y2＝2px的焦点F的坐标为??2?2 不妨设点A在x轴上方，如图，过A、B作准线的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，过点B作BH⊥AA′，交AA′于H，则|BB′|＝|A′H|，设|FB|＝t，则|AF|＝|AA′|＝4t，∴|AH|＝|AA′|－|A′H|＝3t，又|AB|＝5t， 3 ∴在Rt△ABH中，cos∠HAB＝， 54 ∴tan∠HAB＝， 3 4?p??x－，?y＝4?p?2?得8x2－17px＋2p2＝0， ?3则可得直线AB的方程为y＝?x－2?.由?3 ??y2＝2px，1725 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝p＋p＝p， 88 第 1 页 / 共 3 页
第54讲 抛 物 线(教师版) 备战2024年新高考数学微专题讲义
