2024年中考数学真题分类汇编 二次函数代数方面的应用 第一批
一、选择题
1. （2024·潍坊）抛物线y=x2＋bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程x2＋bx+3－t=0（t为实数）在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ） A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6 【答案】A
【解析】由题意得：?b??x1?1?y?ax?b?x2??【解析】由?，解得?，?a，故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1，a＋b)和 2y?a?by?ax?bx?1???y2?0(－
b，0)．对于D选项，从直线过第一、二、四象限可知：a＜0，b＞0．∵a?b，∴a＋b＜0．从而(1，a＋b)在第ab?1，b=－2，抛物线解析式为y=x2－2x+3，当－1＜x＜4时，2其图象如
图所示：
从图象可以看出当2≤t＜11时，抛物线y=x2－2x+3与直线y=t有交点，故关于x的方程x2＋bx+3－t=0（t为实数）在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是故选择A．
方法二：把y=x2－2x+3－t（－1＜x＜4）的图象向下平移2个单位时图象与x轴开始向下平移11个单位时开始无交点，故2≤t＜11，故选择A．
一元二次2≤t＜11，有交点，
四象限，因此D选项不正确，故选D．
二、填空题 14．（2024·安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x﹣a+1和y=x2﹣2a x的图像相交于P，Q两点，若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 . 【答案】a＞1或a＜－1
【解析】本题主要考查了一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，平移的性质，以及数形结合，解题的关键是结合题意，画出图象，利用数形结合分析问题. 本题问题的实质是自变量x在某个范围内，两个函数的值都小于0，即两
x＝a－1，个函数交点中较小的值小于0.假设该两个函数的交点位于x轴上，则x－a＋1＝0，代入二次函数的表达式中，
得：(a－1)2－2a(a－1)＝0，解得：a＝1或a＝－1.
当a＞1 时，随着a的变大，直线向右平移运动，抛物线向右、向下平移运算，如图，此时直线与抛物线的最底交点位于第四象限；当a＜－1时，随着|a|的变大，直线向左平移运动，抛物线向左、向下平移运算，此时直线与抛物线的最底交点位于第三象限.综上所述，a的取值范围为a＞1或a＜－1.
y2y?x?4x?a的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数图象与2. （2024·淄博）将二次函数
直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是 （ ） A.a＞3
B.a＜3
C.a＞5
2D.a＜5
2－1Ox【答案】D.【解析】∵y?x?4x?a?(x?2)?(a?4)，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为
y?(x?1)2?(a?3)，令2?(x?1)2?(a?3)，即x2?2x?a?4?0，
由⊿?4?4(a?4)＞0，得a＜5. 3. （2024·湖州）已知a，b是非零实数，＝ax＋b的大致图象不可能是（ ）
y 1. （2024·潍坊）如图，直线y=x+1与抛物线y=x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点．当△PAB的周长最小时，S△PAB= ．
a?b，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2
yyOxy
【答案】
OOxOx?y?x?1?x1?1?x2?412【解析】解方程组?，得：，?． ?25?y1?2?y2?5?y?x?4x?5xA．
【答案】D．
B． C． D．
∴A（1，2）, B（4，5）,
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P．
则A′（－1， 2）.
设直线A′B解析式为y=kx+b，
1
3?k?,???k?b?2?5则?，解得：?
134k?b?5??b??5?∴直线A′B：y?求证: 0＜mn＜
1. 16【解题过程】（1）当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
2
∴x1=0，x2=1，∴y=x（x-1）=x-x， 当x=时，y=-，∴乙说点的不对；
313x?． 5513）． 5（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；
∴当△PAB的周长最小时，点P的坐标为（0，设直线AB与y轴的交点为C，则C（0，1）
（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m=x1x2，n=1-x1-x2+x1x2， ∴mn=[-][-] ≤，0≤-≤
11311312∴S△PAB=S△PCB－S△PCA =?(?1)?4??(?1)?1 =
25255.
∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤-∴0＜mn＜
1， 41． 1641y?y?x?2x（x?0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：22. （2024·乐山） 如图，点P是双曲线C：
于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是 .
26．（2024·淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(1，3).
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED=EF，求点E的坐标； (3)试问在该二次函数图像上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的不存在，请说明理由.
3？若存在，求出点G的坐标；若5
【答案】3
414【解析】∵点P是双曲线C：y?（x?0）上的一点，∴可设点P坐标为（m，），∵PQ⊥x轴，Q在y?x?2mx2141图像上，∴Q坐标为（m，m?2），PQ=-(m?2)，∴△POQ面积
2m2=
第26题图 第26题备用图
【解题过程】解：（1）∵二次函数的顶点D的坐标为(1，3)，且函数图象过点B(5，0)，
14112×m×[-(m?2]=??m?2??3，当m=2时，△POQ面积的最大值为3. 24m23， 163323252x?x?. ∴该二次的数的解析式为y??(x?1)?3，即y??1616816∴设函数解析式为y?a(x?1)?3，则a(5?1)?3?0，∴a??22
三、解答题
22. （2024浙江省杭州市，22，12分）(本题满分12分) 设二次函数y=(x-x1)(x-x2)( x1,x2是实数)
（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x=
（2）如图所示，
11时，y=-.若甲求得的结果都正确·你认为乙求得的结22果正确吗?说明理由.
(2)写出二次函数图像的对称轴，并求该函数的最小值.(用含x1,x2的代数式表示). (3)已知二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点(m，n是实数)，当0＜x1＜x2＜1时.
2
第26题答图 1
∵DC⊥x轴，EF⊥x轴， ∴△BEF∽△BDC， ∴
BEEFBD?DC， 设EF=ED=m，则5?mm5?3， ∴m=
158， ∴BF=415553?8?2，OF?5?2?52，
∴E（552，2）
（3）根据题意知A、B两点直线DG的距离之比为5:3，分两种情形：①A、B两点在直线DG的同旁，如图2，则有
AN3BM?5， 第26题答图 2
由△HAN∽△HBN得
AHANBH?BM， ∴AH=12，∴H(-15，0)， 又∵D的坐标为(1，3).
设DH的解析式为：y=kx+b，
?3则??k???15x?b?0，解得??k?b?3?16，?45
??b?16∴DH的解析式为y?316x?4516.
∵点G为直线DH与抛物线y??3216x?38x?2516的另个交一个交点， ?∴由??y?3?16x?4516??x?0?x?13得??45或?， ?y??316x2??y?38x?2516?y???16∴G(0，
4516). ②A、B两点在直线DG的两旁，如图3，则有
ANBM?35，
第26题答图3
∵
OA3OB?5， ∴直线DG经过点O，其解析为y=3x.
?y?3x∴由????y??3??x??15?x?12325得或?， 16x?8x?16?y??45?y?3∴G(-15，-45).
综上所述，存在符合条件的点G，其坐标为(0，
4516)或(-15,-45). 26．(2024·泰州) 已知一次函数y1＝kx＋n(n＜0)和反比例函数y2＝m
x (m＞0,x＞0)．
(1)如图1,若n＝－2,且函数y1、y2的图像都经过点A(3,4)． ①求m、k的值;
②直接写出当y1＞y2时x的范围;
(2)如图2,过点P(1,0)作y轴的平行线l与函数y2的图像相交于点B,与反比例函数y3＝n
x(x＞0)的图像相交于点C．
①若k＝2,直线l与函数y1的图像相交于点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时,求m－n的值; ②过点B作x轴的平行线与函数y1的图像相交于点E．当m－n的值取不大于1的任意实数时,点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值．
3
【解题过程】解：（1）①∵a＝l，b＝﹣2，c＝﹣1
22
∴y=x-2x-1=（x-1)-2 ∴顶点坐标为（1，-2）；
2
②当y=x时，x=x-2x-1,
2
∴x-3x-1=0， ∴△=9+4=13>0
∴有两个不相同的实数根，即有两个“不动点”。
第26题图
【解题过程】(1)∵y2＝
mx(m>0,x>0),过点A(3,4),∴4＝m3,∴m＝12,∴反比例函数表达式为y2＝12x.又∵点A(3,4)y1＝kx+n的图象上,且n＝－2,∴4＝3k－2,∴k＝2,所以一次函数表达式为y1＝2x－2. ②由图像可知,两个函数图象交点A的坐标为(3,4),所以当x>3时,y1>y2.
(2)①因为k＝2,所以一次函数表达式为y＝2x+n,∵直线l过点P(1,0),∴D(1,2+ n),B(1,m),C(1, n),又∵点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等,∴BD＝BC或BD＝DC或BC＝CD,∴2+ n﹣m＝m﹣n;或m﹣(2+ n)＝2+ n﹣n,或m－n＝n－(2+n),∴可得m﹣n＝1或m﹣n＝4或m－n＝－2; ②由题意可知,B(1,m),C(1, n),当y1＝m时,kx+n＝m,∴x＝
m?nk即点E的横坐标为m?nk∴d＝BC+BE＝m?n?1?m?nk＝(m?n)(1?11k)?1,∵m－n的值取不大于1的任意实数时, d始终是一个定值,∴1?k?0,∴k＝
1,从而d＝1.
26．（2024·株洲）已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．
（1）若a＝l，b＝﹣2，c＝﹣1．①求该二次函数图像的顶点坐标；②定义：对于二次函数y?px2?qx?r(p?0)，
满足方程y?x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y?ax2?bx?c有两个不同的“不动点”．
（2）设b＝
12c3，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴分别相交于不同的两点A(x1，0)，B(x2，0)，其中x1＜0，x2>0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，
且OC＝OD，又点E的坐标为(1，0)，过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠
ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若PC5PA?5a2，求该二次函数的表达式． ?1
4
（2）
∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF∽△CEB，
AE∴
CE?EFEB， ∵DF∥OE，OC=OD,
∴OE为△CDF的中位线， ∵E(1,0)， C(0，c); ∴CE=1?C2=EF ∵A(x1,0),B(x2，0), ∴AE=1-x1，BE=x2-1，
1-x1c2∴1?c2?+1x2?1
，∴1+c2
=(1-x1)(x2-1)=x1+x2-x1x2-1，
c2?2??b?c?b?c∴
aa?a， 11c3?cc3c2?22c(c2?2)∵b＝2??，∴
a??2a ∵∠AFC＝∠ABC，∠P=∠P
PC?CF∴△PFC∽△PBA，∴PAAB
PC∵
PA?55a2?1，CF=2CE,AB=x2-x1, 2c2?15∴x2?x?15a2?1 c=-2a. ∴
b2?4ac13x2?x1?ca∵，b＝2，c=-2a.，
∴a=1,
2
∵a>0,∴a=1.∴b=-4，c=-2，∴二次函数的表达式为y=x-4x-2
22．（2024安徽）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图像的顶点.
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）(0﹤m﹤4)且垂直于y轴的与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值. 【解题过程】解：（1）因为点（1，2）在一次函数y=kx+4的图像上，所以2=k+4，因为一 次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c图像的另一个交点是该二次函数图像的顶点，则（0，c） 在一次函数y=kx+4的图像上，即c=4，又点（1，2）也在二次函数y=ax2+c的图像上，所 以2=a+c，从而a=﹣2； ………………6分
（2）方法一：因为点A的坐标为（0，m）(0﹤m﹤4)，过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=﹣2x2+4的图像交于点B，C，所以可设点B的坐标为（x0，m），由对称性得点C的坐标为（﹣x0，m），故BC=2| x0 |，又点B在二次函数
2y=﹣2x+4的图像上， 所以﹣2x02+4=m，即x02=2﹣
2
2. （2024·湖州）已知抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点． （1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2－4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m和n的大小，并说明理由． 解：（1）∵抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点，
∴方程2x2－4x＋c＝0有两个不相等的实数根． ∴△＝(－4)2－4×2×c＞0． ∴c＜2即为所求．
（2）∵抛物线的对称轴为x＝??4＝1，而a＝2＞0， 2?2∴在抛物线对称轴的右侧，y随x的增大而增大． ∵2＜3，∴m＜n．
13. （2024·凉山）已知二次函数y=x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且值．
22
解：对于抛物线y=x+x+a，令y=0，∴x+x+a =0,∵抛物线与x轴交于点A（x1，0），（x2，0），
x12?1x22=1，求a的
m，从而BC2=4 x02=8﹣2m，又OA=m， 2从而W=OA2+BC2=m2﹣2m+8=(m﹣1)2+7(0﹤m﹤4)，所以m=1时，
W有最小值7. ………………12分 1. (2024·台州)已知函数y＝x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(－2,4). (1)求b,c满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限,当－5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.
解：(1)将点(－2,4)代入y＝x2+bx+c,得4＝(－2)2－2b+c,∴c＝2b,∴b,c满足的关系式是c＝2b. (2) 把c＝2b代入y＝x2+bx+c,得y＝x2+bx+2b,∵顶点坐标是(m,n),n＝m2+bm+2b,且m＝－
211x12?x222222222
∴x1+x2=-1，x1x2=a，∵2?2=22=1，∴x1+x2=x1x2，∴（x1+x2）-2x1x2==x1x2，代入x1+x2=-1，x1x2=a，有：1-2a=a，
x1x2x1x2解得a=-1 ?2，∵方程有两个实数根，则△=1-4a＞0，解得a＜
1，∴a=-1-2. 4b,即b＝－2m,∴n＝ 2k24. (2024·巴中) 如图,一次函数y1＝k1x+b(k1,b为常数,k1≠0)的图象与反比例函数y2＝x(k2≠0,x>0)的图象交于点
A(m,8)与点B(4,2).
①求一次函数与反比例函数的解析式;
(3) －m2－4m.∴n关于m的函数解析式为n＝－m2－4m.
(4) 由(2)的结论,画出函数y＝x2+bx+c和函数y＝－x2－4x的图象.∵函数y＝x2+bx+c的图象不经过第三象限, (5) ∴－4≤－
bbb≤0.①当－4≤－≤－2,即4≤b≤8时,如图1所示,x＝1时,函数取到最大值y＝1+3b,x＝－时,函数取222b8b?b28b?b2到最小值y＝,∴(1+3b)－＝16,即b2+4b－60＝0,∴b1＝6,b2＝－10(舍去);②当－2<－≤0,即＝≤b<4时,
442b8b?b28b?b2如图2所示,x＝－5时,函数取到最大值y＝25－3b,x＝－时,函数取到最小值y＝,∴(25－3b)－＝16,即
442b2－20b+36＝0,∴b1＝2,b2＝18(舍去);综上所述,b的值为2或6.
k2②根据图像说明,当x为何值时,k1x+b－x<0.
解：①因为点B(4,2)在反比例函数图象上,2＝
k288,所以k2＝8,所以反比例函数解析式为y2＝(x>0),当y＝8时,8＝,所4xx8=k1b24k1b以x＝1,所以点A坐标为(1,8),将A(1,8),B(4,2)代入y1＝k1x+b,可得
5
,所以
k1=2b10,一次函数解析式为y1＝－
2x+10;
2024年中考数学真题分类汇编 二次函数代数方面的应用
