课时跟踪检测（十七） 任意角、弧度制及任意角的三角函数
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·如东模拟)与－600°终边相同的最小正角的弧度数是________．
解析：－600°＝－720°＋120°，与－600°终边相同的最小正角是120°，120°＝2π. 3
2π答案： 3
2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为________．
解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝αr，所以α＝3. 答案：3
3．(2019·苏州期中)已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则|cos θ||tan θ|
＋＝________.
cos θtan θ解析：圆心角θ＝＝2，∵∴
sin θ＋|sin θ|
lrπ
＜2＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，tan θ＜0， 2
sin θ|cos θ||tan θ|
＋＋＝1－1－1＝－1.
|sin θ|cos θtan θ答案：－1
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上25一点，且sin θ＝－，则y＝________.
5
解析：因为sin θ＝
2
25＝－， 2254＋yy所以y＜0，且y＝64，所以y＝－8. 答案：－8
5．已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sin α＝解析：由题设知点P的横坐标x＝－3，纵坐标y＝m， 所以r＝|OP|＝(－3)＋m(O为原点)， 即r＝3＋m. 所以sin α＝＝222
2
2
2
2m，则m＝________. 4
mr2mm＝， 422
所以r＝3＋m＝22，
1
即3＋m＝8，解得m＝±5. 答案：±5
???π
6．已知集合M＝?x?x＝k·，k∈Z?
2???
2
???π
，N＝?x?x＝kπ±，k∈Z?
2???
，则M，N之间
的关系为 ________.
πππ
解析：kπ±＝(2k±1)·是的奇数倍，所以N?M.
222答案：N?M
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·常州调研)若扇形OAB的面积是1 cm，它的周长是4 cm，则该扇形圆心角的弧度数为________．
解析：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r， 2r＋αr＝4，??
根据题意，有?12
α·r＝1，??2
2
解得α＝2，r＝1.
故该扇形圆心角的弧度数为2. 答案：2
2．(2018·黄桥中学检测)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α1
＝x，则tan 2α＝________. 5
解析：由三角函数的定义可得cos α＝
1x1
.因为cos α＝x，所以＝x，
5x2＋42x2＋425
x3
又α是第二象限角，所以x＜0，解得x＝－3，所以cos α＝－，sin α＝1－cos2α54＝， 5
sin α42tan α24
所以tan α＝＝－，所以tan 2α＝＝. 2
cos α31－tanα724
答案：
7
3．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α＝________. 解析：因为r＝＝＝－cos 2.
答案：－cos 2
4．已知角2α的终边落在x轴上方，那么α是第________象限角．
2sin 2
2
＋－2cos 2
2
＝2，由任意三角函数的定义，得sin αyr 2
π
解析：由题知2kπ＜2α＜π＋2kπ，k∈Z，所以kπ＜α＜＋kπ，k∈Z.当k为偶
2数时，α是第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．
答案：一或三
5．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 解析：因为2 017°＝217°＋5×360°，
所以在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°. 答案：217°
3
6．(2019·淮安调研)已知α为第一象限角，sin α＝，则cos α＝________.
532
解析：∵α为第一象限角，sin α＝，∴cos α＝1－sinα＝
54答案：
5
25
7．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则
327扇形的弧长与圆周长之比为________．
2r解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，
31?2r?2α??2?3?55π则＝，所以α＝. 2
πr276
5π2
·rl635
所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.
c2πr185
答案：
18
8．在(0,2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围为____________________． 解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，ππ25π5π2
sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化
442442
94
1－＝. 255
?π5π?规律标出满足题中条件的角x∈?，?.
4??4
答案：?
?π，5π?
4??4?
2
2
9．(2019·镇江中学高三学情调研)点P从(1,0)出发，沿单位圆x＋y＝1按顺时针方
3
π
向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．
3
?π?1Q的纵坐标为sin?－π?＝－sin π ＝
解析：由题意可得点Q的横坐标为cos?－?＝，???3?2?3?
3－
32，故点Q的坐标为??1
?2，－3?2??. 答案：??1
3??2
，－2??
10．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3
cos α的值．
解：设α终边上任一点为P(k，－3k)， 则r＝k2
＋－3
2
＝10|k|.
当k＞0时，r＝10k， 所以sin α＝－3k10k＝－
3
10，1cos α＝10 kk＝10，
所以10sin α＋3
cos α＝－310＋310＝0；
当k＜0时，r＝－10k，
所以sin α＝－3k3－10k＝10，1cos α＝－10kk＝－10，
所以10sin α＋3
cos α＝310－310＝0.
综上，10sin α＋3
cos α＝0.
11．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， ?2r＋l(1)由题意可得?
＝8，?1
lr＝解得?
，
或?
r＝1，
??2
3，
??r＝3??
l＝2
????
l＝6，
所以α＝lr＝2l3或α＝r＝6.
(2)法一：因为2r＋l＝8，
所以S111扇＝2lr＝4l·2r≤?l＋2r?21?8?2
4??2??＝4×??2??
＝4，
4
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. 所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：因为2r＋l＝8，
112
所以S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)＋4≤4，
22当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. 所以弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当―→
圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为________．
解析：如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．根据题意得劣弧DPlrlr?π?＝2，故∠DCP＝2弧度，则在△PCQ中，∠PCQ＝?2－?弧度，CQ＝
2???π??π?cos?2－?＝sin 2，PQ＝sin?2－?＝－cos 2，所以P点的横坐标为
2?2???
2－CQ＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋PQ＝1－cos 2，所以P点的坐标为(2－sin 2，1－cos ―→
2)，此即为向量OP的坐标．
答案：(2－sin 2,1－cos 2) 2．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求终边所在的象限；
2
(3)试判断 tansin cos的符号．
222
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
???3π
其集合为?α?2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z?
2???
αααα
.
3ππα3π
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
2224故终边在第二、四象限．
2
5
α
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习特训 任意角、弧度制及任意角的三角函数文(含解析)苏教版
