15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 16 种．（用数字填写答案） 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合． 【分析】方法一：直接法，分类即可求出，
方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．
【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4 根据分类计数原理可得，共有12+4=16种， 方法二，间接法：C63﹣C43=20﹣4=16种， 故答案为：16
【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题
16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；HW：三角函数的最值．
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．
【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．
【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期， 故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点， 求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x
=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1）， 令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1， 可得此时x=
，π或
；
，π或
和边界点x=0中取到， ）=﹣
，f（0）=0，
．
∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=计算可得f（
）=
，f（π）=0，f（
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∴函数的最小值为﹣故答案为：
．
，
【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． （1）求cos∠ADB； （2）若DC=2
，求BC．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形． 【分析】（1）由正弦定理得∠ADB；
（2）由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． ∴由正弦定理得：∴sin∠ADB=
=
=，
，即
=
，
，再由DC=2
，利用余弦定理能求出
=
，求出sin∠ADB=
，由此能求出cos
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A， ∴cos∠ADB=
=
．
，
（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=∵DC=2∴BC==
=5．
，
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【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF． （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可．
（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角． 【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点， 则
，
，
由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC． 由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．
又因为BF?平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．
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（2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH， 由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF， 则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH， 因为DE∥BF且PF⊥BF， 所以PF⊥DE， 又因为△PDF≌△CDF， 所以∠FPD=∠FCD=90°， 所以PF⊥PD，
由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE， 故VF﹣PDE=
，
因为BF∥DA且BF⊥面PEF， 所以DA⊥面PEF， 所以DE⊥EP．
设正方形边长为2a，则PD=2a，DE=a 在△PDE中，所以故VF﹣PDE=又因为所以PH=
=， ，
， ，
=
，
．
，
所以在△PHD中，sin∠PDH=
即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：
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【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．几何法的应用，考查转化思想以及计算能力． 19．（12分）设椭圆C：点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB． 【考点】KL：直线与椭圆的综合．
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）先得到F的坐标，再求出点A的方程，根据两点式可得直线方程， （2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明． 【解答】解：（1）c=∴F（1，0）， ∵l与x轴垂直， ∴x=1，
=1，
+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，
由，解得或，
∴A（1.），或（1，﹣）， x+
，y=
x﹣
，
∴直线AM的方程为y=﹣
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB， 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0， A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜
，x2＜
，
+
，
直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=
由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=，
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2024年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
