函数的奇偶性与周期性复习试题

函数的奇偶性与周期性复习试题

函数的奇偶性与周期性复习试题

10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)，当x∈时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数; (2)当x∈时，求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016). (1)证明∵f(x+2)=-f(x)， ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)解∵x∈，∴-x∈， ∴4-x∈， ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8， 又f(4-x)=f(-x)=-f(x)， ∴-f(x)=-x2+6x-8， 即f(x)=x2-6x+8，x∈. (3)解∵f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.

∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=f(2016) =f(0)=0. 15.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果f(4)=1，f(x-1)<2，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，求x的取值范

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围. 解(1)∵对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)， ∴令x1=x2=1，得

f(1)=2f(1)，∴f(1)=0. (2)f(x)为偶函数. 证明：令x1=x2=-1，有f(1)=f(-1)+f (-1)， ∴f(-1)=2(1)f(1)=0. 令x1=-1，x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x)， ∴f(-x)=f(x)， ∴f(x)为偶函数. (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2， 由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x-1)<2?f(|x-1|) 又f(x)在(0，+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16， 解之得-15 ∴x的取值范围是{x|-15

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