函数的奇偶性与周期性复习试题
函数的奇偶性与周期性复习试题
10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016). (1)证明∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)解∵x∈,∴-x∈, ∴4-x∈, ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈. (3)解∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=f(2016) =f(0)=0. 15.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范
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围. 解(1)∵对于任意x1,x2∈D, 有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=1,得
f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)f(x)为偶函数. 证明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f (-1), ∴f(-1)=2(1)f(1)=0. 令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|) 又f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16, 解之得-15 ∴x的取值范围是{x|-15
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函数的奇偶性与周期性复习试题
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