第一课时 一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的概念 [提出问题] 观察下列不等式：
(1)x>0；(2)－x－2x≤0；(3)x－5x＋6>0.
问题1：以上给出的三个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2. 问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？
提示：形如ax＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c为常数，且a≠0. [导入新知] 1．一元二次不等式
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax＋bx＋c＞0(≥0)或ax＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
[化解疑难]
1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.
2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.
一元二次不等式的解法 [提出问题] 已知：一元二次函数y＝x－2x，一元二次方程x－2x＝0，一元二次不等式x－2x＞0. 问题1：试求二次函数与x轴交点坐标． 提示：(0,0)，(2,0)．
问题2：一元二次方程的根是什么？ 提示：x1＝0，x2＝2.
问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？ 提示：交点的横坐标为方程的根．
问题4：观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？
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提示：x＞2或x＜0.
问题5：能否利用问题4得出不等式x－2x＞0，x－2x＜0的解集？ 提示：能，不等式的解集为{x|x＞2或x＜0}，{x|0＜x＜2}． [导入新知]
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表
判别式Δ＝b－4ac 一元二次方程22
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Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ax＋bx＋c＝0(a>0)的根 二次函数y＝ax22有两相异实根x1，x2，(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 2ab没有实数根 ＋bx＋c (a>0)的图象 ?b??xx≠－? 2a?? R ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 [化解疑难] {x|x 一元二次不等式的解法 [例1] 解下列不等式： (1)2x＋7x＋3＞0； (2)x－4x－5≤0； 812 (3)－4x＋18x－≥0； 4(4)－2x＋3x－2＜0. [解] (1)因为Δ＝7－4×2×3＝25＞0， 2 222 12 所以方程2x＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－. 2又二次函数y＝2x＋7x＋3的图象开口向上， ??1 所以原不等式的解集为?xx＞－，或x＜－3?. 2?? 2 (2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}． 9?2?(3)原不等式可化为?2x－?≤0， 2?? ?9? 所以原不等式的解集为?xx＝?. 4?? (4)原不等式可化为2x－3x＋2＞0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0， 所以方程2x－3x＋2＝0无实根， 又二次函数y＝2x－3x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. [类题通法] 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． [活学活用] 解下列不等式： (1)x－5x－6>0；(2)－x＋7x>6； (3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x－2x＋1)>x(4－x)． 解：(1)方程x－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (2)原不等式可化为x－7x＋6<0. 解方程x－7x＋6＝0，得x1＝1，x2＝6. 结合二次函数y＝x－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． (4)由原不等式得8x－8x＋4>4x－x， 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 ∴原不等式等价于9x－12x＋4>0. 22 解方程9x－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 3 ?2?2 结合二次函数y＝9x－12x＋4的图象知，原不等式的解集为?x|x≠?. 3?? 2 解含参数的一元二次不等式 [例2] 解关于x的不等式x＋(1－a)x－a＜0. [解] 方程x＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x＋(1－a)x－a的图象开口向上， 则当a＜－1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为?； 当a＞－1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a}． [类题通法] 解含参数的一元二次不等式时 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根的情况，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． [活学活用] 设m∈R，解关于x的不等式mx＋2mx－3<0. 解：①m＝0时，－3<0恒成立，所以x∈R. ②当m>0时，不等式变为(mx＋3)(mx－1)<0， 31?3??1?即?x＋??x－?<0，解得－ 22 2 2 2?m??m? mm?3??1?③当m<0时，原不等式变为?x＋??x－?<0， ? m?? m? 13 解得 mm综上，m＝0时，解集为R； m>0时，解集为?x|－ mm??m<0时，解集为?x| m??m一元二次不等式与相应函数、方程的关系 [例3] 已知关于x的不等式x＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式2?31? ?13? bx2＋ax＋1＞0的解集． [解] ∵x＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}， ∴1,2是x＋ax＋b＝0的两根． ??－a＝1＋2， 由根与系数的关系得? ??b＝1×2， 2 2 2 ??a＝－3， 得???b＝2， 代入所求不等式，得2x－3x＋1＞0. 12 由2x－3x＋1＞0?(2x－1)(x－1)＞0?x＜或x＞1. 21??－∞，∴bx＋ax＋1＞0的解集为??∪(1，＋∞)． 2?? 2 [类题通法] 1．一元二次不等式ax＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax＋bx＋c与x轴交点的横坐标． 2．二次函数y＝ax＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． [活学活用] 12 已知方程ax＋bx＋2＝0的两根为－和2. 2(1)求a，b的值； (2)解不等式ax＋bx－1＞0. 12 解：(1)∵方程ax＋bx＋2＝0的两根为－和2， 21b－＋2＝－，??2a由根与系数的关系，得?12 －×2＝??2a，解得a＝－2，b＝3. (2)由(1)知，ax＋bx－1＞0可变为－2x＋3x－1＞0， 12 即2x－3x＋1＜0，解得＜x＜1. 2 ?1?2 ∴不等式ax＋bx－1＞0的解集为?x|＜x＜1?. ?2? 2 2 2 2 2 2 22 2
2017_18学年高中数学第三章3.2一元二次不等式及其解法1学案含解析
