几种电荷分布所产生的场强和电势
1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R，带电量为q）
?1qr?? , （球面外，即r?R）? E(r)?3电场强度矢量：?
?4? ?0r? E(r)?0 。 （球面内，即r?R）?1q??? Ur? ， （球外）?4? ? 0r?电势分布为：?
1q? U?r?? 。 （球内）?4? ?R 0?2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为q）
?1? E(r)??4? ?0?电场强度矢量：??1? E(r)??4? ?0??qr ， （球体内，即r?R）R3? qr 。 （球体外，即r?R）r31q??? Ur? ， （r?R 即球外）?4? ?r? 0电势分布为：? 221q3R?r? U?r?? 。 （r?R 即球内）3?8? ? 0R???3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为σ）
???(? i)（平板两侧的场强与距 离无关。） 电场强度矢量：E(x)?2?0电势分布为：
U?r????r0?r? 其中假设r0处为零电势参考点。若选取原点（即带电2? 0平面）为零电势参考点。即U0?0。那么其余处的电势表达式为：
???? Ux??x x?0?2?0? ??? U?x??x x?0?2?0?4、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R，单位长度的带电量为λ。）
??? r? ，（ r?R,即在柱面外）? E(r)?2电场强度矢量 ? 2? ?0r?? E(r)?0 。 （r?R，即在柱面内）?ra???? Ur?ln , （r?R 即柱体外）?2? ?0r?电势分布为：?
ra?? U?r??ln 。 （r?R 即柱体内）?2? ?0R? 其中假设ra处为零电势参考点。且ra处位于圆柱柱面外部。（即ra>R）。若选取带电圆柱柱面处为零电势参考点。（即U?R??0）。那么，其余各处的电势表达式为：
? U?r??0 0?r?R ?即在圆柱面内??? U?r????lnr r?R ?即在圆柱面外? ?2? ?0R? 5、均匀分布的无限长带电圆柱体（体电荷密度为ρ、半径为R。）
?? E?r????电场强度矢量： ??? E?r??????r 0?r?R ?圆柱体内?2?0
? R2??圆柱体外?r r?R 22?0r?? r2?圆柱体内?U?r??? 0?r?R ? 4?0?电势： ? 其中假22? R? RR? ?圆柱体外?U?r????ln r?R ?4?2?r00?设圆柱体轴线处为零电势参考点。即U?r?0??0。
6、均匀分布的带电圆环（带电量为q；圆环的半径为R。）在其轴线上x处的电场强度和电势
?电场强度矢量： E?x??14? ?0qx?x2?R2?32??x0。其中x0为轴线方向的单位
矢量。
?q i讨论： （a）当 x??R 或 x??时 Ep(x)?4? ?0x2。此时带电圆
环可视为点电荷进行处理。 （b）当x??R 或 x?0 时 Ep(0)?0 。即，带电圆环在其圆心处的电场强度为零。
电势： U?x??1q 。其中电势的零参考点位于无穷远处。
4? ?0?x2?R2?12q4??0R带电圆环在其圆心处的电势为： U(x)x?0? 。
7、均匀分布的带电直线（其中，线电荷密度λ，直线长为l） （1）在直线的延长线上，与直线的端点距离为d的P点处：
电场强度矢量： Ep?d?? Up?d????l?i?4? ?0d?l?d?4? ?01???1???i 。 ?dl?d??l?dln 。 4? ?0d（2）在直线的中垂线上，与直线的距离为d的Q点处：
电场强度矢量为：
EQ?d???4? ?0l?l?d???d2?2?2?j???2lj 。
224? ?0dl?4d 电势：
l?l?????d22?2?l?l??????d22?2?22?UQ?d??ln4? ?0?l?l2?4d2?ln 。 4? ?0?l?l2?4d2（3）在直线外的空间中任意点处：
?? 电场强度矢量： E?r??Exi?Eyj 。
其中：
???Sin?2?Sin?1? E?x?4? ?0? 。 ??? Ey??Cos?1?Cos?2??4? ?0?或者改写为另一种表示式:
?即: Ep(r,z)?Err?Ezk 。
0
其中：
??????11? Er?? r????4? ?0?ll2l2ll2l2?2222(z?)r?(z?)?r?(z?)(z?)r?(z?)?r?(z?)???222222???
????????11?? Ez???4? ?ll?2222?0?r?(z?)r?(z?)??22????ll?r2?(z?)2?22 。 电势： Up?ln4? ?0llz??r2?(z?)222z?（4）若带电直线为无限长时，那么，与无限长带电直线的距离为d的P点处： 电场强度矢量： Ep?d??电势： Up?d??为电势的零参考点。
（5）半无限长带电直线在其端点处：（端点与带电直线的垂直距离为d）
??? 其中 Ex?Ey? 电场强度矢量：E?Exi?Eyj 。???d0 或 Ep?r??r 。
2? ?0d2? ?0r2dr??ln0 或 Up?r??ln0 。其中假设d0或（r0）2? ?0d2? ?0r? 。
4? ?0d?8、电偶极子P的电场强度和电势
（1）在电偶极子的延长线上x处：其中（X >>l）
? 电场强度矢量：E?x??
电势： U?x?????12P12P 。 ?? 或 Er?334? ?0x4? ?0r1P1P?? 或 Ur? 。 224? ?0x4? ?0r（2）在电偶极子的中垂线上y处：其中（Y >>l）
??1P 电场强度矢量： E?y??? 。 34? ?0y 电势： U?y??1?q?q?????0 。 4? ?0?rr?（3）在空间中任意点r处：其中（r >>l）
电场强度矢量：（采用平面极坐标系）
?E?r??1?2pCos?0PSin?0?Pr?? 其大小为 E???4? ?0?r3r34? ?0r2?3Cos2??1 ，
?E?E方向为??arctg??tg?1??EEr?r???0?1?1?r。其中为与之间的夹角。 ?tgtg?E?????2????1P Cos?1P?r 电势：U?r?? 。 ?4? ?or24? ?0r3电场强度矢量的另一种表达式为：
?E?
????pe?r?? ??pe?3?r34??0r
1???r为矢径r方向的单位矢量。式中：r0???上式电场强度矢量的表达式就是将电场强度E矢量分解在电偶极矩Pe和矢径r的方向上。可以证明：该表达式与电场强度的平面极坐标表达式是相等的。
若采用二维笛卡尔坐标系（平面直角坐标系）：
因为各物理量之间的关系为：r2?x2?y2 ， Cos??所以电势的表达式为： U?r??x?rxx?y22 。1Px 。 3224? ?0?x?y?2???而电场强度的表达式为： E?Exi?Eyj 。
几种典型带电体的场强和电势公式
