2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
一、填空题（每小题6份，共60分，本题共10小题，要求直接将答案写在横线上）
1.已知集合A?{x?R||x?2|?1}，B?{x?R|x?5?0}，则
2?xA?B= ；
2．图1是一个算法流程图，若输入是 ；
3．设圆x2n?1,则最终输出的数据
?y2?1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则
|AB|的最小值为 ；
?22?x,x?24．已知函数f(x)??，若关于x的方程
?log3(x?1),x?2f(x)?m有两个不同的实根，则实数m的取值范围是
用区间形式表示）
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)?2，当x?0时，f(x)是增函数，且对任意的x、y?R，都有f(x?y)?f(x)?f(y)，则函数f(x)在敬意[-3,-2]上的最大值是
n6．对于n?N,若n?2?1是3的整数倍，则n被6除所得余数构成的集合是 。
?
7．如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两个动点，且CD∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD周长的最大值是
8．如图3，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为 △ABC的外心，则AO?BC的值是
9．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R=
10．把长为a的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为
二、解答题（每小题20分，共60分）
11．设0????,????2?,若对任意的x?R，等式cos(x??)?sin(x??) +2cosx?0恒成立，试求?、?的值。
12．如图4,已知两点A(?5,0)、B(5,0)，?ABC的内切圆的圆心在直线x?2上移
动。
(1).求点C的轨迹方程；
(2).过点M(2,0)作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于P、Q两点，且MP?MQ=0，求证：直线PQ必过定点。
13．已知函数f(x)?16x?7，数列{an}、{bn}满足a1?0，b1?0，an?f(an?1)，
4x?4bn?f(bn?1)，n?2,3?.
(1).求a1的取值范围，使得对任意的正整数n,都有an?1?an (2).若a1?3,b1?4,求证：0?bn?an?
第二试
一、数列{an}满足a1?4,an?1an?6an?1?4an?8?0，记bn?18n?1，n?1,2,3?.
6,n?N? an?2(1)求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an?bn}前n项和Sn
二、如图，PA、PB为圆O的两条切线，切点分别为A、B，过点P的直线交圆O于C、D两点，交弦AB于点Q，
求证：PQ?PC?PD?QC?QD
三、设(x?1)?(x?3)?x?a1x (1).若a1pqnn?12??a2xn?2???an?1x?an,p,q?N.
?a2,求证：3n是完全平方数；
(2)证明：存在无穷多个正整数对(p,q),使得a1?a2.
2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案
