第五篇 数列及其应用 专题5.03 等比数列及其前n项和
【考试要求】
1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式;
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题; 3.体会等比数列与指数函数的关系. 【知识梳理】 1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列. an
数学语言表达式:=q(n≥2,q为非零常数).
an-1
(2)如果三个数a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,其中G=±ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn1; 通项公式的推广:an=amqnm.
a1(1-qn)a1-anq
(2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==.
1-q 1-q3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak, ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm.
(3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn. 【微点提醒】
?1?2},??也是等比数列. 1.若数列{an}为等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{an
a
?n?
-
-
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误. 【疑误辨析】
1
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q是一个常数,它可以是任意实数.( ) (2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.( )
a(1-an)
(3)数列{an}的通项公式是an=a,则其前n项和为Sn=.( )
1-a
n
(4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( )
【教材衍化】
1
2.(必修5P53A1(2)改编)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于( )
41A.-
2
3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.
【真题体验】
4.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{an}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为( ) A.2
5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单
2
B.-2 C.2
1
D. 2
B.4
9C. 2
D.6
音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于的频率为( ) A.2f
3
12
2.若第一个单音的频率为f,则第八个单音
B.22f
3
C.
12
25f D.
12
27f
6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.
【考点聚焦】
考点一 等比数列基本量的运算
【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=________. 763
(2)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8=________.
44
【规律方法】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,a1(1-qn)a1-anq
{an}的前n项和Sn==. 1-q1-q
【训练1】 (1)等比数列{an}中各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=( ) A.9
B.15
C.18
D.30
3
a2
(2)(2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=________.
b2
考点二 等比数列的判定与证明
【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; 31
(2)若S5=,求λ.
32
【规律方法】 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时,要注意对n=1的情形进行验证.
【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4. (1)证明:{Sn-n+2}为等比数列; (2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
4
考点三 等比数列的性质及应用
【例3】 (1)等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( ) A.12
B.10
C.8
D.2+log35
(2)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=( ) A.40
【规律方法】
1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是( ) A.-2
B.-2
C.±2
D.2
B.60
C.32
D.50
S6S9
(2)(一题多解)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=________.
S3S6
5
专题5.3 等比数列及其前n项和-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
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