第五篇 数列及其应用 专题5.03 等比数列及其前n项和
【考试要求】
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题； 3.体会等比数列与指数函数的关系. 【知识梳理】 1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. an
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
an－1
(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn1； 通项公式的推广：an＝amqnm.
a1（1－qn）a1－anq
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
1－q 1－q3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak， ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 【微点提醒】
?1?2}，??也是等比数列. 1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{an
a
?n?
－
－
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误. 【疑误辨析】
1
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
a(1－an)
(3)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( )
1－a
n
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )
【教材衍化】
1
2.(必修5P53A1(2)改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于( )
41A.－
2
3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.
【真题体验】
4.(2024·天津和平区质检)已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为( ) A.2
5.(2024·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单
2
B.－2 C.2
1
D. 2
B.4
9C. 2
D.6
音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于的频率为( ) A.2f
3
12
2.若第一个单音的频率为f，则第八个单音
B.22f
3
C.
12
25f D.
12
27f
6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.
【考点聚焦】
考点一 等比数列基本量的运算
【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________. 763
(2)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
44
【规律方法】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，a1(1－qn)a1－anq
{an}的前n项和Sn＝＝. 1－q1－q
【训练1】 (1)等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝( ) A.9
B.15
C.18
D.30
3
a2
(2)(2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
b2
考点二 等比数列的判定与证明
【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31
(2)若S5＝，求λ.
32
【规律方法】 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【训练2】 (2024·广东省级名校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4. (1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
4
考点三 等比数列的性质及应用
【例3】 (1)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( ) A.12
B.10
C.8
D.2＋log35
(2)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝( ) A.40
【规律方法】
1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.
【训练3】 (1)(2024·菏泽质检)在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是( ) A.－2
B.－2
C.±2
D.2
B.60
C.32
D.50
S6S9
(2)(一题多解)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.
S3S6
5
专题5.3 等比数列及其前n项和-2024届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
