归纳推理的四个特点
(1)前提：几个已知的特征现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．
(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．
(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行．
(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段． [典例1] (1)观察下列不等式 131＋<， 22215
1＋＋<， 2232317
1＋＋＋<， 2232424……
照此规律，第五个不等式为________． (2)如图所示是一个有n层(n≥2，n
∈
1
11
N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有________个点．
解析：(1)第n(n＝1,2,3)个不等式的左边为前n＋1个正整数平方的倒数和，右边分母为n＋1，分子为2n111
＋1，故第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
22324252626
(2)设第n层共有an个点，结合图形可知a1＝1，a2＝6，…，an＋1＝an＋6(n≥2，n∈N*)，则an＝6＋(n－2)×6＝6n－6(n≥2，n∈N*)，前n层所有点数之和为Sn＝1＋错误!＝3n2－3n＋1，故这个点阵共有3n2－3n＋1个点．
111
答案：(1)1＋＋＋＋＋< 22324252626(2)3n2－3n＋1 [对点训练]
1．观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有________个小正方形．
1
1
1
11
1
1
1
解析：设第n个图形中小正方形的个数为Sn，观察图形，当n＝1时，S1＝2＋1； 当n＝2时，S2＝3＋2＋1； 当n＝3时，S3＝4＋3＋2＋1； 当n＝4时，S4＝5＋4＋3＋2＋1； 当n＝5时，S5＝6＋5＋4＋3＋2＋1； …，
可得Sn＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1 ＝错误!＝错误!. n2＋3n＋2答案： 2
类比推理的特点是：对两类具有某些类似性质的对象，若其中一类对象具有某些已知性质，推出另一类对象也具有这些性质．
(1)类比是以已知知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．
(2)常见的类比推理情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等． [
典
例
2] 在
△
ABC中，若AB
⊥
AC，AD
⊥
BC于D.则
1AD2
＝
1AB2
＋
，类比以上结论写出四面体ABCD中，类似的命题，并给出证明． AC2
解：猜想：在四面体A-BCD中，
1
若AB、AC、AD两两垂直，且AE⊥平面BCD，E为垂足， 则
＝＋＋. AE2AB2AC2AD21
1
1
1
证明：如图所示，连接BE交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A， ∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴
＝＋. AE2AB2AF21
1
1
在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴
＝＋.∴＝＋＋. AF2AC2AD2AE2AB2AC2AD21
1
1
1
1
1
1
故猜想正确． [对点训练]
2．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O-xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示____________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O-xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
3．如图，已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则
OA′AA′
OB′OC′＋＋＝1. BB′CC′
这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”： OA′OB′OC′S△OBCS△OCAS△OABS△ABC
＋＋＝＋＋＝＝1. AA′BB′CC′S△ABCS△ABCS△ABCS△ABC
运用类比猜想，对于空间中的四面体V-BCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．
解：如图，设O为四面体V-BCD内任意一点，连接VO，BO，CO，DO并延长交对面于V′，B′，C′，OV′OB′OC′OD′
D′，类似结论为＋＋＋＝1.
VV′BB′CC′DD′
类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．
·S△BCD·h′
VO-BCD3OV′因为＝＝(其中h′，h分别为两个四面体的高)，
VV-BCD1VV′
·S△BCD·h3VO-VCDOB′VO-VBDOC′VO-VBCOD′同理＝，＝，＝，
VB-VCDBB′VC-VBDCC′VD-VBCDD′OV′OB′OC′OD′所以＋＋＋ VV′BB′CC′DD′
VO-BCDVO-VCDVO-VBDVO-VBC＝＋＋＋＝1. VV-BCDVB-VCDVC-VBDVD-VBC
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，在解题中综合法和分析法可以联合运用，转换解题思路，增加解题途径．
[典例3] 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤. 1－cos α证明：法一：(分析法) 要证明2sin 2α≤成立，
1－cos α
sin α
sin α
1
只要证明4sin αcos α≤. 1－cos α∵α∈(0，π)，
∴sin α＞0.只要证明4cos α≤
1
.
1－cos α
1
sin α
上式可变形为4≤＋4(1－cos α)．
1－cos α∵1－cos α＞0， ∴
＋4(1－cos α)≥2错误!＝4，
1－cos α
1
1
当且仅当cos α＝，
2π
即α＝时取等号，
3
1
∴4≤
＋4(1－cos α)成立，
1－cos α
sin α
∴不等式2sin 2α≤法二：(综合法) ∵
成立．
1－cos α
＋4(1－cosα)≥4，
1－cos α
1
1
当且仅当cos α＝，
2π
即α＝时取等号，
3
1
∴4cos α≤.
1－cos α∵α∈(0，π)，∴sin α＞0， ∴4sin αcos α≤，
1－cos α
sin α
sin α
∴2sin 2α≤ .
1－cos α
2019-2020学年高中数学人教A版选修1-2教学案： 第二章 章末小结与测评 Word版含解析
