高中数学——最深度极值点偏移深度研究目录专题01极值点偏移概念.......................................................................................................................2专题02极值点偏移问题判定定理......................................................................................................6专题03不含参数的极值点偏移问题................................................................................................14专题04含参数的极值点偏移问题....................................................................................................20专题05含对数式的极值点偏移问题................................................................................................32专题06含指数式的极值点偏移问题................................................................................................40专题07极值点偏移问题的函数选取.................................................................................................46专题08极值点偏移的终极套路........................................................................................................74
1专题01极值点偏移概念
一、极值点偏移的含义众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量x都有f(x)?f(2m?x)，则函数f(x)关于直线x?m对称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x?m必为f(x)的极值点.如二次函数f(x)的顶点就是极值点x0，若f(x)?c的两根的中点为在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.x1?x2x?x2，则刚好有1?x0，即极值点22若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m，且函数f(x)满足定义域内x?m左侧的任意自变量x都有f(x)?f(2m?x)或f(x)?f(2m?x)，则函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数f(x)定义域内任意不同的实数x1,x2满足f(x1)?f(x2)，则若m?
x1?x2x?x2，则称为极值点左偏；若m?1，则称为极值点右偏.22xx?x2如函数g(x)?x的极值点x0?1刚好在方程g(x)?c的两根中点1的左边，我们称之为极值点左偏.e2[来源:学_科_网Z_X_X_K]x1?x2与极值点m必有确定的大小关系：22二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2，求证：x1?x2?2x0（x0为函数f(x)的极值点）；2.若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2)，求证：x1?x2?2x0（x0为函数f(x)的极值点）；x1?x2，求证：f'(x0)?0；2x?x24.若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2)，令x0?1，求证：f'(x0)?0.23.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2，令x0?三、问题初现，形神合聚★函数f(x)?x?2x?1?ae有两极值点x1,x2，且x1?x2.证明：x1?x2?4.2x所以h(2?x)?h(2?x)，所以h(x1)?h(x2)?h[2?(x2?2)]?h[2?(x2?2)]?h(4?x2)，因为x1?2，4?x2?2，h(x)在(??,2)上单调递减所以x1?4?x2，即x1?x2?4.学科&网3★已知函数f(x)?lnx的图象C1与函数g(x)?
12ax?bx(a?0)的图象C2交于P,Q，过PQ的中点R作x轴的2垂线分别交C1，C2于点M,N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.4四、招式演练★过点作曲线的切线．（1）求切线的方程；（2）若直线与曲线【答案】（1）【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程．交于不同的两点（2）见解析，，求证：．因为设当所以因为从而k.Com]，不妨设，则时，，，．，单调递增，时，，[来源:学*科*网Z*X*X*K]在，所以当，所以，因为．，在单调递减，所以，即．学科&网5
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