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第五章 特征值与特征向量
1、数字型矩阵的特征值与特征向量 知识点：
定义：1o设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零向量x使得Ax??x，则称λ是A的特
征值，称非零向量x是属于λ的特征向量.
2o由Ax??x,得(?E?A)x?0 称Ax??x为A的特征矩阵
?E?A为A的特征多项式，它的根就是A的特征值. 求法：1）特征值：?E?A?0
2）特征向量：(?E?A)x?0即求解线性方程组.
注：属于同一个特征值的线性无关的特征向量为 n?秩(?E?A).
60??4??例1. A???3?50?
??3?61?????4解：?E?A?33?600?(??2)(??1)2 ??1??56
2、抽象矩阵的特征值与特征向量
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例2. 设3阶矩阵A的三个特征值为1，－2，3，则A? －6 ，A A*的特征值为 －6,3,-2
A2+2A+E的可逆性 可逆 4,1,16
－1
11的特征值为1,?,
233?1?例3. 设??2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵?A2?有一个特征值为（ ）.
4?3??1例4. 设向量????1,?2,?,?n?,??(b1,b2,?,bn)T都是非零向量，且满足条件
T?T??0,记A???T，
求（1）A2
（2）矩阵A的特征值和特征向量
例5. 设A为3阶矩阵，且A?E?A?2E?2A?3E?0，则2A*?3E? 解：A为特征值为：1,?2, ?A*:A?3?A?3 2?3即3,,?2
2? ?2A*?3E
:3,?6,?711＝126
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3、已知矩阵的特征值和特征向量来求矩阵和行列式等问题 1）已知特征向量，一般用Ax??x求解 2）已知全部特征值和特征向量反求矩阵A A(?1,?2,??n)?(?1?1,?2?2,??n?n) 则A?(?1?1,?2?2,??n?n)(?1,?2,??n)?1
3）已知部分特征值和特征向量，反求另一部分特征值，特征向量或矩阵A 4）已知特征值反求行列式
?例6.设A??1?33??3a3??有特征值?1??2,?2?4，试求参数a,b的值.
??6?6b??解：分析：用特征议程?E?A?0可建立两个方程
?33?3 ?2E?A?0 得?3?2?a?3?3(5?a)(4?b)?0 66?2?b33?3 4E?A?0 得?34?a?3?3[(7?a)(2?b)?72]?0 ?664?b由①②得a??5,b?4
?例7.设矩阵A??211??1??121??可逆，向量????b??是A*的一个特征向量，λ是α对应的特
??11a????1??征值，求a,b,λ.
解：A*?????A(A*?)?A(??)?A???A? 由可逆，知λ≠0，从而A??A??.
?即?211??1??1??121????b???A??b??. ??11a????1?????1????3?b?A① ??得??2?2b?A② ??b
??1?a?b?A③
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第五章特征值(考研精讲)
