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湖南省湘东六校2019年上学期高二期末联考
理科数学试题
分值：150分 时量：120分钟 考试时间：2019年7月2日
由醴陵市一中·浏阳市一中·株洲市二中·株洲市八中·株洲市四中·攸县一中
联合命题
姓名：___________________ 考号：____________________
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，将本试题卷和答题卷一并上交。
一、选择题（每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1．已知集合A．
B．
，则 C．
D．
2．i为虚数单位，若复数?1?mi??1?i?是纯虚数，则实数m? A．-1
B．0
C．1
D．0或1
3．“m＞2”是“表示双曲线”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
1
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到组数据
.根据收集到的数据可知
A．
B．
C．
D．
，
，
，，则
，
，
，由最小二乘法求得回归直线方程为
5．已知向量a=（4,2），a-b=（1,-2），则a在b方向上的投影为 A．2
B．3
C．4
D．5
6．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将到成数列A．58
这
个整数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构
，那么此数列的项数为
B．59
，若
C．1 C．60
D．61 ，则m的值为 D．-2或1
7．已知f(x)=2x-sinx，A．?1
B．-2
8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β； ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中正确命题的个数有 A．1
B． 2
C．3
D．4
9．小球A在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出，则一次投放小球，从“出口3”落出的概率为
AA．
1 5B．
1 4 C．
3 16 D．
3 81234510．已知过点
A． 0
作曲线B．4
的切线有且仅有1条，则实数的取值是 C．0或-4
D．0或4
2
11．设F2是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F2的直线交双曲线的右支于
点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若|MF2|＝3|PF2|，且 ∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为
A．3 B．2 C． D．
12．已知函数
实数的取值范围为（ ）
A．
B．
，，若存在实数，使得成立，则
C． D．
二、填空题：共4小题，每题5分，共20分
13．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为________．
14．已知不等式组值为_____.
所表示的平面区域的面积为4，点在所给平面区域内，则的最大
15．三棱锥P-ABC中，AB⊥AC,PA⊥平面ABC，PA=3，AB=4，AC=5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 . 16．已知函数
上是单调函数，则
__________．
是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本题满分10分 ）在（1）求角的值； （2）若
，且
为锐角三角形，求
的取值范围.
中，、、分别是角、、的对边，且
.
3
18．（本题满分12分）如图，四棱锥
，为 （1）求证：（2）求二面角
19．（本题满分12分）已知数列（Ⅰ）求数列
的通项公式； 中点. 平面
； 的正弦值.
中，底面是边长为2的正方形，，且
的前项和为，，．
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
20．（本题满分12分）已知点且
.
，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，
（1）求动点的轨迹的方程； （2）过点
的直线交抛物线于
两点，当
时，求直线的方程.
21．（本题满分12分）在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2018年已就业的A、B两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如下表：
[30,40) 20 月薪（百元） 人数 [40,50) 36 [50,60) 44 [60,70) 50 [70,80) 40 [80,90) 10 将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，巳知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元．
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关? A专业 B专业 非高薪收入群体 高薪收入群体 20 110 合计 4
合计 （2）经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪X(单位：百元)近似地服从正态分布N(，196)，其中近似为样本平均数 (每组数据取区间的中点值)．若X落在区间(
)的左侧，则可认为该
大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导。
①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；
②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于的获赠两次随机话费，月薪不低于的获赠一次随机话费，每次赠送的话费Z及对应的概率分别为：
则李阳预期获得的话费为多少元?
附：，其中，．
P（K2≥k） k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22．（本题满分12分 ）已知函数 (e为自然对数的底数)．
（1）求函数的值域；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围；
5
2018-2019学年湖南省浏阳、株洲等湘东六校高二下学期期末联考数学（文）试题（解析版）
