欧阳总创编 2024..02.13
线性规划常见题型及解法
时间：2024.02.13 创作：欧阳总 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围
?x?2??y?2?x?y?2?例1、
若x、y满足约束条件范围是 （ ）
，则z=x+2y的取值
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝
0，将
l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值
2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积
?2x?y?6?0??x?y?3?0?y?2?y 2 O 2 B y =2 x x + y =2 A x=2 例2、不等式组表示的平面区域的
y 面积为 （ ）
A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为
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x＋y – 3 = 0 M A O B y =2 C x 2x + y – 6= 0 = 5 欧阳总创编 2024..02.13
所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B
三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）
A、9个 B、10个 C、13个 D、14个
?x?y?2?x?y?2????x?y?2??x?y?2等价于?(x?0,y?0)(x?0,y0)(x0,y?0)(x0,y0)
y 解：|x|＋|y|≤2
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件
?x?y?5??x?y?5?0?x?3?O x y x + y = 5 x – y + 5 = 0 ，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最
优解有无数个，则a的值为 （ ） A、－3 B、3 C、－1 D、1
O x=3 x 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标
函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D
五、求非线性目标函数的最值
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?2x?y?2?0??x?2y?4?0?3x?y?3?0?例5、已知x、y满足以下约束条件 ，则
z=x2+y2的最大值和最小值分别是（ ）
A、13，1 B、13，2
C、13，D、
45
y A 13，255
解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值
O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0 x 2x + y - 2= 0 = 5 为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C
六·比值问题
当目标函数形如z?y?a时,可把z看作是动点P(x,y)与定点
x?b45Q(b,a)连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连
线斜率的最值。
??x－y＋2≤0，y
例 已知变量x，y满足约束条件?x≥1，则 x 的取
??x＋y－7≤0，
值范围是（ ）.
99
（A）[5，6] （B）（－∞，5]∪[6，＋∞） （C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6] y
解析 x是可行域内的点M（x，y）与原点O 欧阳总创编 2024..02.13
六种经典线性规划例题之欧阳总创编
