对圆锥曲线中证明（求）直线过定点的问题探讨
漆绍杰
在圆锥曲线中直线与圆锥曲线相结合的问题是较为复杂的问题，其中有一类问题是证明（求）直线过一定点，对于这一类问题如何去思考呢？它们的共同的解题思路是怎样的呢？下面让我们一起来探讨一下。
既然直线过一定点，说明此直线的斜率是不定的，这使我们联想到过定点的直线系方程，过一定点P(x0,y0)的直线系方程可以写成的y?y0?k(x?x0)，那么我们先可写出直线的方程，再根据方程判断直线过哪一个定点。下面通过具体例子来说明。
例1：已知抛物线y?2px(p?0)上有两动点A,B及一个定点M(x0,y0)，F为抛物线的焦点，且∣AF∣，∣MF∣，∣BF∣成等差数列。（1）求证线段AB的垂直平分线经过一定点Q(x0?p,0)；（2）若∣MF∣?4，∣OQ∣?6（O为坐标原点），求此抛物线的方程。
分析：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵∣AF∣，∣MF∣，∣BF∣成等差数列，结合定义得x1?2ppp?x2??2(x0?)?x1?x2?x0，由此可设弦AB的中点坐标为222y1?y22pp??， 弦AB的
x1?x2y1?y2b(x0,b)。y12?y22?2p(x1?x2)?kAB?中垂线方程为：
y?b??略。
bb(x?x0)?y??(x?x0?p)，故弦AB的中垂线过定点(p?x0,0)。（2）ppy2x2例2：在双曲线??1的一支上有不同的三点A(x1,y1),1213B(26,6),C(x2,y2)与
焦点F(0,5)的距离成等差数列。（1）求y1?y2的值。（2）证明线段AC的垂直平分线经过一定点，并求该定点的坐标。
分析：（1）∵∣AF∣，∣BF∣，∣CF∣成等差数列，则结合定义得
ey1?a?ey2?a?2(6e?a)?y1?y2?12，
（2）由此，可设弦AC的中点坐标为(x0,6)
222xy12x12y2x2y?y12(x1?x2)12x0??1,??1?kAC?12???0 由
12131213x1?x213(y1?y2)13?613弦AC的中垂线方程为：
y?6??1313131325(x?x0)?y?6??x??y??x? 2x02x022x0225)。 2故弦AB的中垂线过定点(0,2例3：过抛物线x?y上的定点C(1,1)作两条互相垂直的弦CA、CB，求证直线AB过定点。
22分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?2px1,y2?2px2
uuuruuuruuuruuurOA?OB?OA?OB?0?(x1?1)(x2?1)?(y1?1)(y2?1)?02?(x1?1)(x2?1)?(x12?1)(x2?1)?0?(x1?1)(x2?1)?(x1?1)(x2?1)(x1?1)(x2?1)?0?(x1?1)(x2?1)(x1?x2?2)?0 因为点A、B与点C不重合，所以(x1?1)(x2?1)?0故x1?x2?2?0
2y1?y2?x12?x2?kAB?y1?y2?x1?x2x1?x2，直线
AB的方程为：
y?y1?(x1?x2)(x?x1)
?y?(x1?x2)x?x12?x1x2?y1?y?(x1?x2)x?x1x2
?y?(x1?x2)x?x1?x2?2?y?2?(x1?x2)(x?1)
所以直线AB过定点(?1,2)。
评析：直线方程虽然被我们“强行”写了出来，但由此方程我们根本看不出直线过哪一定点，为此我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达到我们的目的。
例4：A,B是抛物线y?2px(p?0)上的两点，满足OA?OB（O为坐标原点），求
2证：（1）A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线AB经过一定点。
2222分析：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?2px1,y2?2px2?(y1y2)?4px1x2
uuuruuuruuuruuur22又由 OA?OB?OA?OB?0?x1x2?y1y2?0 ?x1x2?4p,y1y2??4p
（2）y1?y2?2p(x1?x2)?KAB?22y1?y22p?
x1?x2y1?y2直线AB的方程为y?y1?2px12p2p(x?x1)?y?x??y1
y1?y2y1?y2y1?y2y12?2px1?y1y22p2p?x??(x?2p)，故直线过定点(2p,0)。 y1?y2y1?y2y1?y2评析：和上题一样我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达到我们的目的。
例5：设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点。
2y?y1y1?y2p ,y2)，直线AC的方程为?2x?x1x?p12ppp?(y?y1)(x1?)?(y1?y2)(x?x1)?(y2?y1)x?(x1?)y?y1?x1y2
222p要证直线AC经过原点，只需证(y?y1)(x1?)?0
2分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则C(?y12yyppppppy1?x1y2?y1?y2?y1?1y1y2?y1?1(?p2)?y1?y1?0 222p22p22p22评析：此处不是由方程直接看出直线经过原点，而是转化为证常数项为0,这样就避免了直接证带来的困难。
3x2y2例6：已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为且在x轴上的顶点分别为
ab2A1(?2,0)A2(2,0)。（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l:x?t（t为大于2的一个定值）
与x轴交于点T，P为l上的异于T的任意一点，直线PA1,PA2分别与椭圆C交于两点M,N，证明直线MN经过一个定点。
c3x2分析：（1）Qe??,a?2?c?3,b?1 故椭圆C的方程为?y2?1
a24（2）设M(x1,y1),N(x1,y2)，直线A1M的斜率为k1，则直线A1M的方程为y?k1(x?2)
?y?k1(x?2)?由?x2消去y得(4k12?1)x2?16k12x?16k12?4?0 判别式??16?0，解得
2??y?1?4?8k12?2 x1?4k12?1?8k12?24k14k1，所以点M的坐标为(2,)①， y1?24k1?14k12?14k1?1同理可设直线A2M的斜率为k2，则直线A2M的方程为y?k2(x?2)，所以点N的
28k2?2?4k坐标为(2,22)②，
4k2?14k2?1由于直线A1M与直线A2M的交点P(t,yp)在直线l上，又
yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)所以k1(t?2)?k2(t?2)?由两点式得直线MN的方程为将①②③代入④得x?k1?k22??③
k1?k2ty?y1y2?y1xy?xy，令y?0得x?2112④ ?x?x1x2?x1y1?y244，故直线MN经过定点(,0)。 tt
评析：此题的计算量相当大，在解题思路上它和前几题的解法既有相同的地方又有区别，属于难题。
通过对上面几个同一类型问题的解题方法的探讨，我们可以得出解决这一问题的一般性结论：利用题中所给条件，写出直线的点斜式方程，若不能看出定点，则再利用其它条件对方程进行变形，直到看出定点或转证相关问题。
例说圆锥曲线中证明直线过定点的问题
