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兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB实践》中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.
1.3 本文研究目的及意义
在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的
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应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过具体的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.
第2章 特征值与特征向量的一般理论
2.1 特征值与特征向量的定义和性质
为了研究矩阵的线性变换，并且希望能够在线性空间中通过一些线性变换找到一个比较简单的形式，所以引入了特征值与特征向量这一概念。我们知道，在一个有限维的线性空间中，确定一组基之后，线性变化就可以通过矩阵的方法来表示，当然对于一些复杂的形式来说，这种变化过程也十分繁琐。那接下来就是要讨论如何会使得这些方法变得简洁，首先介绍一下特征值与特征向量的定义。
2.1.1 特征值与特征向量的定义
定义1：设A是n阶矩阵，如果存在数?与n维零向量x，使关系式Ax??x 成立，那么，这样的数?称为方阵A的特征值，非零向量x称为方阵A的对应于特征值?的特征向量（?可以是复数，A的元素与x的分量也可以是复数）.可以将关系式 Ax??x 写成
(A???)x?0 这是n个未知数n个方程的齐次线形方程组.其有非零解的充分必要条件是：系
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数行列式A??E?0. 方程组(A???)x?0是以?为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程.A??E是?的n次多项式，记作f(?),称为方阵A的特征多项式.显然，A的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）.因此，n阶矩阵在复数范围内有n个特征值.
2.1.2 特征值与特征向量的性质
性质1若?i是R的ri重特征值，R对应特征值?i有si个线性无关的特征向量，则si?ri.
性质2 如果x1,x2都是矩阵R的属于特征值?0的特征向量,则当k1x1?k2x2?0时,
k1x1?k2x2?0仍是R的属于特征值?0的特征向量．
性质3 如果?1,?2,K,?n是矩阵R的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是x1,x2,K,xn，则x1,x2,K,xn线性无关． 性质4 若R??rij?n?n的特征值为?1,?2,K,?n，则
?1??2?K??n?r11?r22?K?rnn，?1?2K?n?R．
性质5 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交． 性质6 若?i 是实对称矩阵R的ri 重特征值，则对应特征值?i恰有ri个线性无关的特征向量，或r?R??iE??n?ri．
性质7设?为矩阵R的特征值，P?x?为多项式函数，则P???为矩阵多项式
P?R?的特征值．
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2.2 特征值与特征向量的一般求解方法
2.2.1 一般数字矩阵的简单求解
通过对于矩阵特征值与特征向量的定义，我们对于一个确定的线性变换A的特征值与特征向量的求解方法，可以分成以下几个步骤：
L?n，写出线性变换在这组基下的矩阵A；1、在线性空间V中取一组基?1，?2，
2、求出矩阵A的特征多项式?E?A在数域P中的所有的根，这些根就是线性变换下所有的特征值；
3、把所求得的特征值逐个带入方程组中，对于每一个特征值，求解方程组，都可以得到一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量
L?n下的坐标，在基?1，?2，这样我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关
的特征向量。
?1????2????2???例2.1 在基?1,?2,?3下的一组线性变换A的矩阵形式为R??2????1????2?，求A?2????2????1???的特征值与特征向量。
解 先求出此矩阵的特征多项式
??1?E?R??2?2?2?2?2????1????5?
2??1?2??1可以看出当?E?A为零时，特征值分别为-1（二重）和5。并先将-1代入齐次方程组
????1?x1?2x2?2x3?0???2x1????1?x2?2x3?0 ??2x?2x????1?x?0123? .
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可以得到
??2x1?2x2?2x3?0???2x1?2x2?2x3?0 ??2x?2x?2x?0123?它的基础解系为
?1??0??????0?，?1? ??1???1?????由此便可以看出关于特征值-1的两个线性无关的特征向量为
?1??1??3
?2??2??3
再根据定义可以得出关于-1的特征向量为k1?1?k2?2，其中的k1和k2取不全为零的任意值，然后再将5代入，可得
?4x1?2x2?2x3?0???2x1?4x2?2x3?0 ??2x?2x?4x?023?1基础解系为
?1????1? ?1???所以，对于特征值5的线性无关向量是
?3??1??2??3
可以看出特征值5的全部特征向量为k?3，k的值同上，为不全为零的数。
2.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量
在开始介绍之前首先应该了解什么叫做矩阵的初等变换。矩阵的初等变换一般就分为初等行变换和初等列变换，先给出初等行变换的定义：
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浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)
