§8.2 两条直线的位置关系
1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组Error!的解．2．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
|Ax0＋By0＋C|d＝
A2＋B2
.
|C1－C2|(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝概念方法微思考
1．若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？
提示 当两条直线l1与l2的斜率都存在时，kl1·kl2＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直．
2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示 (1)将方程化为最简的一般形式．
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等．
A2＋B2.题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.( × )
(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
|kx0＋b|
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( × )
1＋k2
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )题组二 教材改编
2．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )A.2 B．2－2 C.2－1 D.2＋1答案 C
|a－2＋3|
解析 由题意得
1＋1
＝1.
解得a＝－1＋2或a＝－1－2.∵a>0，∴a＝－1＋2.
3．已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.答案 1
m－4
解析 由题意知所以m＝1.
4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．答案 －9
解析 由Error!得Error!
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.题组三 易错自纠
5．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )A．2 C．2或－3 答案 C
B．－3D．－2或－3
－2－m
＝1，所以m－4＝－2－m，
2m＋14
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2
－2m3或－3.故选C.
6．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______．
32答案
4
1
解析 先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
2
则两平行线间的距离为d＝
||2－2
1
32＝.24
7．两点A(a＋2，b＋2)，B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a＝________，b＝________.答案 4 2
解析 由题意可知，A，B所在直线与直线4x＋3y＝11垂直，且线段AB的中点在直线4x＋3y＝11上，则有Error!解得Error!
两条直线的平行与垂直
例1 (2024·包头模拟)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于( )A．－1 C．0或－2 答案 D
解析 方法一 ∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．
a－1
又∵l1∥l2，∴
－2
1＝－，
a
B．2D．－1或2
∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等．∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行．
方法二 由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.
由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.
所以a＝－1或a＝2.
本例中，若l1⊥l2，则a＝________.1答案
3
解析 方法一
1
解得a＝.
3
()()－2
×－
a
a－11
＝－1，
方法二 由A1A2＋B1B2＝0得(a－1)×1＋2a＝0.
1
解得a＝.
3
思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练1 (1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( )
3A．－
23
C．－或0
2答案 C
a＋1－a3
解析 若a≠0，则由l1∥l2?＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选
12a2C.
(2)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则a＝________.
2答案
3
B．0
D．2
解析 由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0，
2
解得a＝.
3
两直线的交点与距离问题
1
1．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是
2________．答案 －，62
解析 由方程组Error!解得Error!
1
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
22－4k6k＋1
∴交点坐标为.，2k＋12k＋1又∵交点位于第一象限，∴Error!1
解得－ 62 2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )182929A. B. C. D.55105答案 C 34－12解析 因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由 685 |－24－5| 题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即2910. 62＋82 ＝2910 ，所以|PQ|的最小值为 9 1 ()11 ()思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等． 对称问题 命题点1 点关于点中心对称 例2 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
2024新高考版大一轮复习用书数学第八章 8.2
