广义胡克定律
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§10.4 空间应力状态及广义胡克定律
一、 空间应力状态简介
当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态，也称为三向应力状态。本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下，单元体的最大正应力和最大剪应力。先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况，如图10-16(a)所示。该斜面上的应力σ、τ与σ1无关，只由主应力σ2、σ3决定。于是，可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力。同理，在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ，也可分别由（σ1、σ3）或（σ1、σ2）确定的应力圆来表示。这样作出的3个应力圆称作三向应力圆，如图10-16（d）所示。当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。由于D点的确定比较复杂且不常用，在此不作进一步介绍。
图10-16 空间应力
二、 最大、最小正应力和最大剪应力
从图10-16(d)看出，在三个应力圆中，由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆，又称极限应力圆。画阴影线的部分内，横坐标的极大值为Al点，而极小值为B1点，因此，单元体正应力的极值为：
σmax=σ1，σmin=σ3
单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间。
而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl点的纵坐标，即等于该应力圆半径：
?max??1??32
Gl点在由σ1和σ3所确定的圆周上，此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力，所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行，且与σ1和σ3主平面交45。
三、广义胡克定律
在研究单向拉伸与压缩时，已经知道了在线弹性范围内，应力与应变成线性关系，满足胡克定律
0
??E?（a）
此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向线应变根据材料的泊松比可得出：
?'???????（b）
?E
在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律，即
??G?（c）
或
???G
对于复杂受力情况，描述物体一点的应力状态，通常需要9个应力分量，如图10.1所示。根据剪应力互等定律，τxy=－τyx，τxz=－τzx，τyz=－τzy，因而，在这9个应力分量中只有6个是独立的。这种情况可以看成是三组单向应力（图10-17）和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，在线弹性范围内，处于小变形时，线应变只与正应力有关，与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关，与正应力无关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。因此，求线应变时，可不考虑剪应力的影响，求剪应变时不考虑正应力的影响。于是只要利用（a）、（b）、（c）三式求出与各个应力分量对应的应变分量，然后进行叠加即可。
图10-17 应力分解
如在正应力σx单独作用时(图10-17(b))，单元体在x方向的线应变
?xx??xE；
在σy单独作用时(图10-17(c))，单元体在x方向的线应变为：
?xy????yE；
在σz单独作用时(图10-17 (d))，单元体在x方向的线应变为
?xz????zE；
在σx、σy、σz共同作用下，单元体在x方向的线应变为：
?x??xx??xy??xz?x??y??Z?E?E?E?1?x??(?y??z)????E
同理，可求出单元体在y和z方向的线应变εy和εz。最后得
?x??y?（10-9）
1??x??(?y??z)??E? 1??y??(?z??x)??E?
?z?1?z??(?x??y)????E
对于剪应变与剪应力之间，由于剪应变只与剪应力有关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。因而仍然是（c）式所表示的关系。这样，在xy、yz、zx三个面内的剪应变分别是
?xy?12(1??)?xy??xyGE
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