第四章 立体几何
专题 17 立体几何中的最值问题
【压轴综述】
在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系
( 主要是平行与垂直的位置关
系 ) ，计算空间图形中的几何量 ( 主要是角与距离 ) 是两类基本问题．在涉及最值的问题中主要有三类，一是距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何
量）的值 . 从解答思路看，有几何法（利用几何特征）和代数法
( 应用函数思想、应用基本不等式等 ) 两种，
都需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换．要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，有关计算公式熟练掌握 .
一、涉及几何体切接问题最值计算
求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等 . 通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；
二 . 涉及角的计算最值问题
1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．
2. 求异面直线所成角的步骤 : 一平移 , 将两条异面直线平移成相交直线．二定角 , 根据异面直线所成角的定义找出所成角．三求角 , 在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．四结论．
3.线面角的计算： （1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做
----二证 ---- 三计算” .
（ 2）利用向量法求线面角的方法
(i 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角
(或其补角 )；
(ii) 通过平面的法向量来求， 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 (钝角时取其补角 )，取其余角就是斜线和平面所成的角 .
下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧
.
【压轴典例】
例 1. （2024·全国高考真题（理） ）已知正方体的棱长为
1，每条棱所在直线与平面
所成的角都相等，则
1
截此正方体所得截面面积的最大值为（
） A．
3 3
B．
2 3
C．
3 2
D． 3
4
3
4
2
【答案】 A
【解析】
根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体 ABCD
A1B1C1 D1 中，
平面 AB1 D1 与线 AA1 , A1B1, A1D1 所成的角是相等的，
所以平面 AB1D1 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面 C1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面
AB1 D1 与 C1 BD 中间的，
且过棱的中点的正六边形，且边长为
2 ，
2
所以其面积为 S
6
3 (3
2)2 3 ，故选 A.
4
2
4
例 2.（2024·全国高考真题（文） ）设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，三角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥 D
ABC 体积的最大值为（
） A．12 3 B．18 3
C．24 3
D．54 3
【答案】 B 【解析】 如图所示，
2
△ABC 为等边
点 M为三角形 ABC的中心， E 为 AC中点，
当 DM
平面 ABC 时，三棱锥 D ABC 体积最大
此时，OD
OB R 4
Q S
V ABC
3 AB2 9 3
4
AB 6,
Q 点 M为三角形 ABC的中心
BM2
2 3
3BE
2
2
RtVOMB 中，有 OM
OB BM
2
DM
OD OM
4 2 6
V1 D ABC
max 9 3 6
18 3
3
故选 B.
例 3.（2017·全国高考真题（理） ） a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形所在直线与
， 都垂直，斜边 以直线 为旋转轴旋转，有下列结论：
a b
AB AC ①当直线 AB与 a 成 60°角时， AB与 b 成 30°角；
②当直线 AB与 a 成 60°角时， AB与 b 成 60°角； ③直线 AB与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB与 a 所成角的最大值为
60°.
其中正确的是 ________. （填写所有正确结论的编号） 【答案】②③
【解析】
3
ABC的直角边AC
2024高考数学之冲破压轴题讲与练专题17立体几何中的最值问题【解析版】
