湖南省2001年高中数学奥林匹克选拔赛试题
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合A={ x 2, x+1 ,－3}与B={ x－5, 2x－1, x 2 +1}满足A∩B = {－3 }，则x的值是 (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) －1
3?1，则a的取值范围是 533 (A) 0?a? (B) a?且a?1
5533 (C) ?a?1 (D) 0?a?或a?1
552．若loga3．若函数 y = sinωx (ω>0 )在区间 [0 , 1] 上至少出现50次最大值，则ω的最小值是 (A) 98? (B)
197?199? (C) (D) 100? ??4．直线 ax + by +c = 0 (a, b, c ≠0) 与直线px + qy + m = 0 ( p, q, m≠0) 关于y轴对称
的充要条件是 (A)
bcababcabc? (B) ?? (C) ?? (D) ??? qmpqpqmpqm5．已知{ a n }是等差数列，且 a n >0，a 2 a 4 + 2a 3 a 5 + a 4 a6=2025 那么a3 + a5的值为
(A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 45
6．已知有穷等差数列{ a n }的首项为1，末项a n = 1997 (n>3) 。若公差是自然数，则项数n的所有可能取值之和是
(A) 3501 (B) 3499 (C) 2001 (D) 1997
7．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的五位数个数是
(A) 48 (B) 36 (C) 28 (D) 12 8．圆??Dcos??Esin?与极轴所在的直线相切的充要条件是
(A) D·E = 0 (B) D·E ≠0 (C) D = 0, E≠0 (D) D≠0, E=0 9．方程arcsinx?arccosy?n??n?Z?所表示的图形是
10．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1三等分点，F为CC1三等分点，AE=2A1E, CF=2C1F，过B，E，F作正方体的截面，下列所示的截面在相应面上的投影图中，错误的是
11．方程 x2|x| +|x|2－x2－|x| = 0在复数集内的解集对应复平面内的图形是
(A) 几个点和直线 (B) 单位圆与直线 (C) 几条直线 (D) 原点与单位圆 12．将奇正整数1，3，5，7，…排成五列，如右图表，按图表的格式排下去，2001所在的那列，从左边数起是
(A) 第一列 (B) 第二列 (C) 第三列 (D) 第四列
二、填空题（本题共5个小题，每小题6分，共30分）
x2y2??1有共同的渐近线，且经过点?3,23的双曲线方程是13．与双曲线
916??___________________；
14． 已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，AB=BC=CA=2，AA1?2，D和E分别是AC
和BC的中点，则A1D与C1E所成的角的度数为_______________________;
15．设x,y?R且满足x 2 +4y 2 = 4，则x 2＋2xy＋4y 2的最大值和最小值分别是________;
16．已知a + b +c =0 ，且a，b，c均不为0，则化简a?为________________________; 17．计算
?11??11??11????b????c????bc??ca??ab?342001的值为_____________ ????1!?2!?3!2!?3!?4!1999!?2000!?2001!
三、解答题（本题共5个小题，每小题12分，共60分）
18．已知二次函数f?x??4x2?4ax?a2?2a?2在0?x?1上的最小值为2，求a的值。
19．设至少有四项的数列{a n }的前n项的和Sn?npann?N?,p为常数，且
????a1?a2，试问这个数列{a n }是一个什么数列？并说明理由。
20．已知四棱锥P－ABCD的底面边长是4的正方形，PD⊥底面ABCD。设PD=6，M、N分别为PA、AB的中点。
（1）求三棱锥P－DMN的体积；
（2）求二面角M－DN－C的平面角的正切值。
21．现分批买汽水给a位人喝，喝完后的空瓶根据商家规定每b（a>b>1,a,b?N?）个空瓶又可换一瓶汽水，所以不必买a瓶汽水，但至少要买多少瓶汽水才能保证a人每人都喝上一瓶汽水？
22．边长为1的菱形A1B1CD的两对角线交于A 2 ，过A 2作A 2B 2// A1B1交B1C于B 2，连结B 2D交A1C于A 3 ，过A 3作A 3B 3// A1B1交B1C于B 3，…，这样作下去得A nB n以B1为原点，B1C所在直线为x轴，建立平面直角系，设以
1为半径，圆心在y轴AnBn上的一列圆T n (n=1,2,3,…)依次相外切(即T k与T K+1外切,k=1,2,3,…)，若圆T 1与抛物线 y = x 2 相切，求证：所有的圆T n (n=1,2,3,…)都与抛物线y = x 2相切。
湖南省2001年高中数学奥林匹克选拔赛题参考答案
一、选择题 1． D 2． D
3． B 提示：由f?1T??2?并注意到可在端点1处取到最大值. 4. D 5. D
6. A 提示：由题可得 d?1996n?1?N?,n－1=2 ,4 ,499 ,998 ,1996 n>3 所以5+500+999+1997=3051. 7. C
228. C 化为直角坐标方程为???x?D?2??????x?E?2???14?D2?E2?
9. B 由已知可得:x?0,y?0且x2?y2?1?此时n?0?, 或x?0,y?0且x2?y2?1?此时n?1?
10. D 投影到面 D1DBB1 时应成一条线段. 11. D 原方程化为 ?x2?|x|???|x|?1??0 12. B 分析每列被16除的余数的规律即可.
二、填空题
13. 4x29?y24?1 . 用曲线系可设所求为x29?y216?? 14. 600.
15. 6和2 . 可以考虑用三角换元或用不等式知识 16. －3 . 17.
112?2001!. 提示：k?211k!??k?1?!??k?2?！??k?1?!??k?2?! 三、解答题
218. 解：f?x??4??a??x?2???2a?2
2001年湖南省高中数学竞赛试题
