2024年中考数学热点专题复习：例析与一次函数有关的面积问题
一、由一次函数图象求面积
例1 已知直线y?kx?b过点A(?1,5)，且平行于直线y??x?2。 (1)求直线
y?kx?b的解析式；(2)若B(m,?5)在这条直线上，O为原点，求m的值及S?AOB。
解析 由两直线平行，斜率相等，可知k??1，再将A点坐标代入直线方程，得
5??1?(?1)?b，解得b?4，所以所求直线解析式为y??x?4。因为点B在直线上，
所以点B坐标满足直线解析式，即?5??m?4，解得m?9m，B点坐标为(9,?5)。如图，在坐标系中画出三角形AOB，直接求三角形AOB面积比较麻烦，可以分别求原三角形被坐标轴分割成的两个小三角形的面积设AB与y轴交于点C，则C是直线y??x?4与y轴的交点，易求得C点坐标(0,4)。三角形AOC和三角形BOC都看成以OC为底边，则它们的高的大小等于A、B两点横坐标的绝对值，据此可求得三角形AOB面积为
S?AOB?S?AOC?S?BOC?(1/2)?4?(1?9)?20。
由一次函数图象求图形面积，有时所求图形是不规则图形，没有直接的面积公式求解，可以利用坐标轴或者平行于坐标轴的直线将不规则图形分割成若干个易求面积的图形，通常将图形的一边放在坐标轴上会简化求解过程。 二、由面积求一次函数解析式
例2 已知直线y??x?2与x轴、y轴分别交于点A、点B，另一直线
y?kx?b(k?0)经过C(1,0)，且把?AOB的面积分为1: 5两部分，求k与b的值。
解析 直线将已知三角形分为面积不等的两部分，旋转直线可以发现可能存在两种符合题意的情况，一种是直线与AB边相交，S?ACD?S?AOB。如图，设交点D(x0,y0)，由题
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意易得A(2,0)，则S?ACD?B(0,2)，
1112S?AOB。所以S?ACD??1?y0??2，解得y0?，6263代入y??x?2可解得x0?4，所以D(4/3,2/3)，将C、D坐标代人直线方程得3?0?k?b?，解得k?2，b??2。另一种情况是直线与OB相交，如图，设交点F(0,y1)，?24?k?b??33S?COF?12112S?AOB，即?1?y1?，解得y1?，所以F(0,)。将C、F坐标代入直线
23363?212??b方程得?3，解得k?，b?。
33?0?k?b?综上所述，k?2，b??2或k?12，b?。 33 解决这种直线将已知图形分割的题目一定要注意观察，限制条件不强时学生在解答时很
容易漏解，解题时多画几组不同位置角度的直线，可以更清楚地看出符合题意的情况有几种。
三、与一次函数面积相关的拓展题 例3 已知直线y??k1x? (k是常数，k是正整数)与两坐标轴围成的面积为k?1k?1?S2016。
Sk(k?1,2,3,,2016)，求S1?S2?S3? 解析 这题k的取值范围比较广，可以求出任一三角形面积Sk，再进行加减运算。要求直线与坐标轴面积，先要求直线与两坐标轴交点，令x、y分别取零可得直线与两坐标轴交点为(,0)、(0,1k11)。由于k是正整数，Sk?，要求
2k(k?1)k?1S1?S2?S3?形
后
累
?S2016，观察Sk表达式，可对Sk进行变形，Sk?加
项
可
以
前
后
相
111(?)，这样变2kk?1消
，
得
S1?S2?S3?1111?S2016?(1????2223?11111008?)?(1?)? 20162017220172017 本题是将一次函数面积和累加求和知识结合的拓展题，做这种探究拓展题时一定要仔细观察所给的条件的特点，找出规律(如本题对Sk表达式的变形)，看不出规律时可以先取特
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殊值，代入数据列几组式子，再去找具体的规律，结合所学的知识灵活求解。 从以上几个例题的讨论可以看出，解决一次函数面积问题的基本步骤就是先确定交点坐标，将所求面积转化为与坐标轴相关的几个图形的面积，再求出有关线段的长度。学生解题时要灵活变通，寻找最佳的解题的方案。
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