第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理第2课时勾股定理的逆定理的应用教案

由天下分享时间：2024/11/20 12:19:55 加入收藏我要投稿点赞

第2课时勾股定理的逆定理的应用

的关键是根据题意构造△APE为直角三角

形．

1．进一步理解勾股定理的逆定理；(重点)

2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实

际问题．(难点)

【类型二】运用勾股定理的逆定理求边长一、情境导入

某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？

二、合作探究

探究点：勾股定理的逆定理的应用【类型一】运用勾股定理的逆定理求角度

在△ABC中，D为BC边上的点，＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的AB＝13，AD长．

解析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD为直角三角形，即∠ADC＝∠ADB＝90°.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的长度．

解：∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，AC222

＝15，∴AC＝AD＋CD，∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝AB－AD＝5，∴BD的长为5.

方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中．

【类型三】勾股定理逆定理的实际应用 2

如图，已知点P是等边△ABC内一

点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

解析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，判断△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数．

解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°.

方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题

如图，是一农民建房时挖地基的

平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？

解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形．

解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB22222

＋BC＝8＋6＝64＋36＝100.又∵AC＝9

＝81，∴AB2＋BC2≠AC2

，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．

方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答．

【类型四】运用勾股定理的逆定理解决方位角问题

如图，南北向MN为我国领海线，

即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？

解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE即为走私船所走的路程．由题意可知，△ABE和△ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．

解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝

90°.∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2

，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由S11

△ABC＝2AB·BC＝

AC·BE，得BE＝6013

海里．由CE2＋BE2＝122，

得CE＝144144144

13海里，∴13÷13＝169≈0.85(小

时)＝51(分钟)，9时50分＋51分＝10时

41分．

答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．