专题3.4 导数的综合应用
x1．（广东省东莞市三校2024-2024学年期中）已知函数f(x)?e?x，x?0，下列结论中正
确的是（ ）
A．函数f(x)有极小值 C．函数f(x)有一个零点 【答案】D
xx【解析】因为f?x??e?x，所以f??x??e?1， x又x?0，所以f??x??e?1?0，
B．函数f(x)有极大值 D．函数f(x)没有零点
???上单调递增，且f?x?min?f?0??1?0， 即函数f?x??e?x在?0，x故函数f?x?无极值，且函数无零点，故选D。
2．（黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2024学年期末）已知函数
f(x)?x3?mx2?(m?6)x?1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是（ ）
A．(?1,2) 【答案】B 【解析】
B．(??,?3)(6,??) C．(?3,6) D．(??,?1)(2,??)
f?x??x3?mx2??m?6?x?1，?f??x??3x2?2mx??m?6?，
由于函数y?f?x?既有极大值，又有最小值，则导函数y?f??x?有两个零点，
???4m2?12?m?6??0，即m2?3m?18?0，解得m??3或m?6.
因此，实数m的取值范围是???,?3??6,???，故选B。
3．（河南省信阳市普通高中2024-2024学年期末）设函数
f(x)?ex(x3?32x?6x?2)?2aex?x，若不等式f(x)?0在[?2,??)上有解，则实数a的取2值范围为（ ）
3132?,??) B．[??,??)
2e2e311,??) C．[??D．[?1?,??)
42eeA．[?【答案】C
【解析】f(x)?e(x?等价于2ae?e(x?xx3x332x?6x?2)?2aex?x?0在[?2,??)上有解， 2
32x?6x?2)?x在[?2,??)上有解， 23ex(x3?x2?6x?2)?x等价于， 22a?[](x??2)minex3ex(x3?x2?6x?2)?x32x， 令32g(x)??x?x?6x?2?ex2ex1?x12则g'(x)?3x?3x?6?x?(x?1)(3x?6?x)，
ee因为x?[?2,??)，
所以当x?[?2,1)时，g'(x)?0，g(x)在区间[?2,1)上单调递减； 当x?(1,??)时，g'(x)?0，g(x)在区间(1,??)上单调递增； 当x?1时，g(x)取得极小值g(1)?1?所以2a??3131?6?2????，也就是函数的最小值， 2e2e3131?，所以a???， 2e42e31,??)，故选C。 所以a的取值范围是[??42e4．（黑龙江省哈尔滨市呼兰一中2024-2024学年期中）若不等式2xlnx??x2?ax?3对x??0,???恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．???,4 【答案】A
?B．4,??? ?C．???,?4?
D．??4,???
【解析】因为2xlnx??x2?ax?3对x??0,???恒成立， 所以a?x?2lnx?令y?x?2lnx?3，x?0， x3， x23x2?2x?3(x?3)(x?1)则y'?1??2?， ?22xxxx所以当x?(0,1)时，y'?0，函数单调减， 当x?(1,??)时，y'?0，函数单调增， 所以当x?1时，ymin?1?0?3?4，
所以实数a的取值范围是???,4， 故选A。
5．（河南省豫西名校2024-2024学年联考）已知函数f(x)为R上的可导函数，其导函数为
?f?(x)，且满足f(x)?f?(x)?1恒成立，f(0)?2024，则不等式f(x)?2024e?x?1的解集为
（ ）
A．?0,??? 【答案】A
【解析】由题意知，f(x)?f(x)?1?0，则构造函数F(x)?[f(x)?1]e，则
`xB．???,0? C．?e,??? D．???,e?
F`(x)?f`(x)ex?[f(x)?1]ex?[f(x)?f`(x)?1]ex?0，所以F(x)在R是单调递减。又因为
f(0)?2024，则F(0)?[f(0)?1]e0?2024。所求不等式f(x)?2024e-x+1可变形为
[f(x)?1]ex?2024，即F(x)?2024?F(0)，又F(x)在R是单调递减，所以x?0，故选A。
?x?ax6．（四川省攀枝花市2024-2024学年期末）已知函数f(x)??x??x?a有三个不同的零
?e?ex3x1??x2???点x1,x2,x3 （其中x1?x2?x3），则?1?x1?1???xx???e1??e2??e3A．1 【答案】A 【解析】令
B．?1
C．a
22? 的值为( )
??D．?a
x1?xx?g(x)?=tg(x)?，构造，求导得，当x?1时，g?(x)?0；当x?1时，xxxeeeg?(x)?0，
故g(x)在???,1?上单调递增，在?1,???上单调递减，且x?0时，g(x)?0，x?0时，g(x)?0，
g(x)max21xax???g(1)?，可画出函数g(x)的图象（见下图），要使函数f(x)??x??x?a有三个e?e?e不同的零点x1,x2,x3（其中x1?x2?x3），则方程t2?at?a?0需要有两个不同的根t1,t2（其中
t1?t2），则??a2?4a?0，解得a?0或a则t1?0?t2??t1?t2??a?t1?t2??a?0且?，若a?0，即?，4，
t?t??at?t??a?0?12?121，则x1?0?x2?1?x3，且g?x2??g?x3??t2， e
x3x1??x2???故?1?x1?1???xx???e1??e2??e3若a22222??1?t1?t?1?t?t?tt?1?a?a?1， ??????????121212?????t1?t2??a?412，由于g(x)max?g(1)?，故t1?t2??4，故a4，即?ee?t1?t2??a?44不符合题
意，舍去，故选A。
7．（山西省晋城市2024届第三次模拟）定义在R上的函数f(x)的导函数为
f'(x)，若
f(x)?0，且?1????2?2f(x)?f'(x)2?1，则（ ）
f2?1?A．f?3?? 2ef2?1?C．?f2?2? e【答案】C 【解析】因为?1????2?f(x)?f'(x)2B．
f?2??f?1? eD．
f?3??e2?f?1?
?1??1???，所以f(x)?2f'(x)?0.构造函数：
?2?0g(x)?ex?f2(x)，所以g'(x)?ex?f2(x)?2ex?f(x)?f'(x)?ex?f(x)?[f(x)?2f'(x)]?0.所
f2?1?以函数g(x)在R上单调递增，所以g(2)?g(1)，即e?f(2)?e?f(1)，即?f2?2?，e222故选C。
8．（云南省玉溪市第一中学2024届调研）已知定义在(0,数，且对任意的x?(0,A．3f()??2)上的函数f(x)，f’(x)是它的导函
?2)，都有f(x)?f'(x)tanx恒成立，则（ ）
2f()
43??C．3f()?f()
63??B．2f()?f()
??64D．f(1)?2f()sin1
?6
【答案】D
【解析】由题得f(x)cosx?f'(x)sinx，即f(x)cosx?f'(x)sinx?0，令
g(x)?f(x)?f'(x)sinx?f(x)cosx?0，因此g(x)在定义域上为增x?(0,)，导函数g'(x)?2sinxsinx2函数。则有g()?g()?g(1)?g()，代入函数得2f()?????6436?f(1)2?2f()??f()，由
4sin133该不等式可得f(1)?2f()sin1，故选D。
?6x?1x9．（湖北省武汉市武昌区2024-2024学年期末）已知函数f(x)?ae?eln(x?1)?1存在零
点x0，且x0?1，则实数a的取值范围是（ ）
A．???,1?eln2? C．???,?eln2? 【答案】D
【解析】由题意，函数f(x)?aex?1B．?-eln2,??? D．?1?eln2,???
?exln(x?1)?1，
1?x令f?x??0，可得a?e?eln(x?1)，
设g?x??e1?x?eln(x?1),x?1，则g??x???e1?xeex?x?1??e?x， x?1e(x?1)x由y?e?x?1的导数为y?ex?1，
当x?1时，ex?1?e?1?0，
则函数y?e?x?1递增，且y?e?x?1?0，则g?x?在(1,??)递增，
xx可得g?x??g?1??1?eln2，则a?1?eln2，故选D。
10．（安徽省教育联盟2024年模拟）已知函数f?x?的导函数为f'?x?，e为自然对数的底数， 对?x?R均有f?x??xf'?x??xf?x?成立，且f?2??e，则不等式xf?x??2e的解集是（ ）
2xA．???,e? 【答案】D
B．?e,??? C．???,2? D．?2,???
【解析】原不等式等价于
xf?x?xf?x?，令， ?2gx???exex
2024届高考数学(文)一轮复习讲练测专题3.4导数的综合应用(练)【含答案】
