x?log37；[解析] (3x)2?6?3x?7?0?3x?7或3x??1（舍去），?x?log37。
[考点透析]求解对应的指数方程，要根据相应的题目条件，转化为对应的方程加以分析求解，同时要注意题目中对应的指数式的值大于零的条件。
21．（2007理，5分）若函数f(x)?e?(x??)（e是自然对数的底数）的最大值是m，且f(x)是偶函数，则
2m???________．
1；[解析] f(x)?e?(x??)02?1?????e?(x??)2，设t??x???21??t?0?，此时f(x)????是减函数，则最大值是
?e?t?1?m????1，又f(x)是偶函数，则??0，∴m???1．
?e?[考点透析] 根据函数的特征，结合指数函数的最值问题，函数的奇偶性问题来解决有关的参数，进而解得对应的值。研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图象研究性质中的作用,注意从特殊到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养。
?1?22．（2008模拟，5分）已知函数y?a（a?0且a?1）的图象如图，则函数y???的图象可能是________。
?a?xx x
?1?xD；[解析] 根据函数y?a的图象可知a?1，那么对应函数y???的图象是D。
?a?[考点透析]根据对应指数函数的图象特征，分析对应的底数a?1，再根据指数函数的特征分析相应的图象问题。
?23．（2008模拟，5分）设f(x)?logax（a?0且a?1），若f(x1)?f(x2)???f(xn)?1（xi?R，
，则f(x1)?f(x2)???f(xn)的值等于________。 i?1,2,?,n）
3；[解析] 由于f(x1)?f(x2)???f(xn)=logax1?logax2???logaxn=loga(x1x2?xn)=1，而
333333f(x1)?f(x2)???f(xn)=logax1?logax2???logaxn=loga(x1x2?xn)3=3loga(x1x2?xn)=3
333[考点透析]根据对数函数的关系式，以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题，关键是加以合理地转化。 24．（2008模拟，5分）将函数y?log2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式为________。
y?log2(x?1)?1；[解析] 将函数y?log2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1所对应的解析式为y?log2(x?1)；要此基础上，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式为y?1?log2(x?1)。
[考点透析]根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题，一般可以结合“左加右减，上减下加”的规律加以应用。
25．（2008模拟理，5分）若函数y=lg（ax2+2x+1）的值域为R，则实数a的取值围为________。
[0，1]；[解析] 由于函数y=lg（ax2+2x+1）的值域为R?（0，+?）?{u（x）|u（x）=ax2+2x+1}，当a=0时，
u（x）=2x+1的值域为R，符合题意；当?a?0?时，即0?a?1时也符合题意。
???4?4a?0[考点透析]通过引入变元，结合原函数的值域为R，转化为u（x）的问题来分析，要根据二次项系数的取值情况加以分类解析。
26．（2008模拟文、理，5分）若函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则实数k的取值围是________。
?3?220,；[解析] 函数y=log2（kx+4kx+3）的定义域为R?kx+4kx+3>0恒成立，当k=0时，3>0恒成立；当???4?k?0?3时，即时也符合题意。 0?k??24??16k?12k?0?[考点透析]把函数的定义域问题转化为有关不等式的恒成立问题，再结合参数的取值情况加以分类解析。
27．（2008模拟，5分）给出下列四个命题：
xx①函数y?a（a?0且a?1）与函数y?logaa（a?0且a?1）的定义域相同；
②函数y?x和y?3的值域相同；
3x(1?2x)211③函数y??x与y?都是奇函数；
22?1x?2x④函数y?(x?1)与y?22x?1在区间[0,??)上都是增函数。
其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上）
xx①、③；[解析] 在①中，函数y?a（a?0且a?1）与函数y?logaa（a?0且a?1）的定义域都是R，
?则结论正确；在②中，函数y?x的值域为R，y?3的值域为R，则结论错误；在③中，函数y?3x11与?x22?1(1?2x)22x?1y?(x?1)y?2y?[1,??)都是奇函数，则结论正确；在④中，函数在上是增函数，在R上是增函数，xx?2则结论错误。
[考点透析]综合考察指数函数、对数函数、幂函数的定义、定义域、值域、函数性质等相关容。
?1??1?xx28．（2008模拟，5分）直线x?a（a?0）与函数y???、y???、y?2、y?10的图像依次交于A、
?2??3?B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是________。
D、C、B、A；[解析] 结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D、C、B、A。
[考点透析]结合指数函数的图象规律，充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题，加以判断对应的交点的上下顺序问题。
29．（2008银行模拟理，5分）若关于x的方程25{m|m??4}；[解析] 令y?52?|x?1|xx?|x?1|?4?5?|x?1|?m有实根，则实数m的取值围是________。
?|x?1|，则有0?y?1，则可转化252?4?5?|x?1|?m得y2?4y?m?0，根据
题意，由于y?4y?m?0有实根，则??(?4)?4(?m)?0，解得m??4。
[考点透析]通过换元，把指数方程转化为一元二次方程来分析求解，关键要注意换元中对应的参数y的取值围，为求解其他参数问题作好铺垫。
30．（2008大联考模拟文、理）已知lgx+lgy=2lg（x－2y），求log2x的值。 y[分析] 考虑到对数式去掉对数符号后，要保证x?0，y?0，x－2y?0这些条件成立。假如x=y，则有x－2y=－x?0，这与对数的定义不符，从而导致多解。
[解析] 因为lgx+lgy=2lg（x－2y），所以xy=（x－2y）2， 即x2－5xy+4y2=0，所以（x－y）（x－4y）=0，解得x=y或x=4y， 又因为x?0，y?0，x－2y?0，所以x=y不符合条件，应舍去，
所以
x=4，即logy2x=logy24=4。
[考点透析] 在对数式logaN中，必须满足a?0，a?1且N?0这几个条件。在解决对数问题时，要重视这几个隐含条件，以免造成遗漏或多解。
31．（2008大联考模拟理）根据函数y?|2?1|的图象判断：当实数m为何值时，方程|2?1|?m无解？有一解？有两解？
[分析] 可以充分结合指数函数的图象加以判断．可以把这个问题加以转换，将求方程|2?1|?m的解的个数转化为两个函数y?|2?1|与y?m的图象交点个数去理解。
[解析] 函数y?|2?1|的图象可由指数函数y?2的图象先向下平移一个单位，然后再作x轴下方的部分关于x轴对称图形，如下图所示，
yxxxxxxy?2xy?|2x?1|1--1O1 x
函数y?m的图象是与x轴平行的直线， 观察两图象的关系可知：
当m?0时，两函数图象没有公共点，所以方程|2?1|?m无解；
当m?0或m?1时，两函数图象只有一个公共点，所以方程|2?1|?m有一解； 当0?m?1时，两函数图象有两个公共点，所以方程|2?1|?m有两解．
[考点透析]由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以求解，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键．
32．（2008模拟理）已知x1是方程xlgx=2008的根，x2是方程x·10x=2008的根，求x1x2的值．
x[分析] 观察此题，易看到题中存在lgx和10，从而联想到函数y?1gx与y?10．而x1可以看成y?1gx和
xxxxy?20082008xx交点的横坐标，同样x2可看成y?10和y?交点的横坐标，若利用函数y?1gx与y?10的对称性，xx2008，设其交点坐标为(x1,y1)， x2008x同样令yc?10，它与yb?的交点的横坐标为(x2,y2)，
x[解析] 令ya?1gx，yb?由于反比例函数关于直线y?x对称，则有(x1,y1)和(x2,y2)关于直线y?x对称， 点(x1,y1)即点(x1,x2)应该在函数yb?此题便迎刃而解了．
2008上，所以有x1x2=2008． x[考点透析] 中学数学未要求掌握超越方程的求解，故解题中方程是不可能的．而有效的利用指数函数和对数函数的性质进行解题此题就不难了，否则此题是一个典型的难题．以上求解过程不能算此题超纲．
33．（2008模拟文、理）已知实数a、b、c满足2b=a+c，且满足2lg（b－1）=lg（a+1）+lg（c－1），同时a+b+c=15，数a、b、c的值。
[分析] 在解题过程中，遇到求某数的平方根时，一般应求出两个值来，再根据题设条件来决定取舍，如果仅仅取算术平方根，那么往往会出现漏解。
[解析] 因为2b=a+c，a+b+c=15，所以3b=15，即b=5， 由于2b=a+c=10，则可设a=5－d，c=5+d， 因为2lg（b－1）=lg（a+1）+lg（c－1）， 所以2lg4=lg（6－d）+lg（4+d），即16=25－（d－1）2，则有（d－1）2=9， 所以d－1=?3，则d=4或d=－2，
所以实数a、b、c的值分别为1，5，9或7，5，3。
[考点透析] 在一些实际运算中，要注意运算时所满足的条件，利用正确的公式加以变形求解。特别对于对数运算、无理式的运算等，最终结果要进行必要的验证，否则容易出现增、减根。还要注意对数的运算法则等相关知识，否则容易导致出错。
34．（2008模拟）已知f(x)?loga1?x(a?0,a?1)。 1?x（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性；（3）求使f(x)?0的x的取值围。
[分析] 根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关容，考察相关的不等式问题。
[解析] （1）
1?xx?1?0，即?0，等价于(x?1)(x?1)?0，得?1?x?1， 1?xx?1所以f(x)的定义域是(?1,1)； （2）f(x)?f(?x)?loga1?x1?x=loga1=0， ?loga1?x1?x所以f(?x)??f(x)，即f(x)为奇函数； （3）由f(x)?0，得loga当a?1时，有
1?x?0， 1?x1?x?1，解得0?x?1； 1?x1?x?1，解得?1?x?0； 当0?a?1时，有0?1?x故当a?1时，x?(0,1)；当0?a?1时，x?(?1,0)。
[考点透析]主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等。
35．（2008模拟，12分）已知函数f(x)?1?f()?log2x。
（1）求函数f(x)的解析式；（2）求f(2)的值；（3）解方程f(x)?f(2)。
[分析]通过代换，联立对应的方程组，通过消元达到求解函数解析式的目的，从而求得对应的函数值及方程。 [解析] （1）由于f(x)?1?f()?log2x，
1x1x1111代x可得：f()?1?f(x)?log2，则有f()?1?f(x)?log2x， xxxx11把f()?1?f(x)?log2x代入f(x)?1?f()?log2x可得：
xx上式中，以
f(x)?1?[1?f(x)?log2x]?log2x，解得f(x)?1?log2x1?log2x22；
（2）由（1）得f(x)?1?log2x1?log2x1?log2x1?log2x22，则f(2)?1?log221?log22?1；
（3）由（1）得f(x)?，则（2）得f(2)?1，
则有f(x)?1?log2x1?log2x2?f(2)?1，即1?log2x?1?log2x，
2解得log2x?0或log2x?1，所以原方程的解为：x?1或x?2。
[考点透析]对于给定抽象函数关系式求解对应的函数解析式，要合理选取比较适合的方法加以分析处理，关键是要结合抽象函数关系式的特征，这里用到的是以
1代x的方式来达到求解函数解析式的目的。 xx36．（2008模拟理，12分）已知函数f(x)?loga(a?a)（a?1）。
（1）求f(x)的定义域、值域；（2）判断f(x)的单调性； （3）解不等式f?1(x2?2)?f(x)。
[分析]根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关容，考察相关的不等式问题。
xx[解析] （1）要使函数f(x)?loga(a?a)（a?1）有意义，则需要满足a?a?0，
即a?a，又a?1，解得x?1，所以所求函数f(x)的定义域为(??,1)；
x又loga(a?a)?logaa?1，即f(x)?1，所以所求函数f(x)的值域为(??,1)；
x（2）令??a?a，由于a?1，则??a?a在(??,1)上是减函数，
x又y?loga?是增函数，所以函数f(x)?loga(a?a)在(??,1)上是减函数； xyyxxy（3）设y?loga(a?a)，则a?a?a，所以a?a?a，即x?loga(a?a)，
xx所以函数f(x)的反函数为f?1(x)?loga(a?ax)，
高考数学专题_指数函数、对数函数、幂函数(理科)
