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第二章 控制系统的数学模型习题及答案
2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。其中电压ur(t)和位移x(t)为输入量；电压uc(t)和位移y(t)为输出量；R（电阻），C（电容），k（弹性系数），和f（阻尼系数），均为
常数。 解：
（a）应用复数阻抗概念可写出
1csI(s)?U(s) （1） Ur(s)?c1R1?csR1I(s)?Uc(s) （2） R2联立式（1）、（2），可解得：
Uc(s)R2(1?R1Cs)?
Ur(s)R1?R2?R1R2Cs微分方程为:
ducR1?R2du1?uc?r?ur dtCR1R2dtCR1（b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 k1(x?x1)?f(对B点有 f(dx1dy?) （1） dtdtdx1dy?)?k2y （2） dtdt 联立式（1）、（2）可得：
k1k2k1dxdy ?y?dtf(k1?k2)k1?k2dt2-2 试证明下图所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。
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解：
(a) 取A、B两点分别进行受力分析，
如图解所示。对A点有
??y?)?f1(y??y?1) (1) k2(x?y)?f2(x对B点有
??y?1)?k1y1 (2) f1(y 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量y1，整理后得
f1f22ffs?(1?2)s?1f1f2s2?(f1k2?f2k1)s?k1k2Y(s)k1k2k1k2 = ?2fffffX(s)122s?(1?2?2)s?1f1f2s?(f1k2?f2k1?f2k2)s?k1k2k1k2k1k2k1(b) 由图可写出
Uc(s) = 1R2?C2sUr(s)1R1?C1s1R2??1C1sR1?C1s
整理得
Uc(s)R1R2C1C2s2?(R1C1?R2C2)s?1 = 2Ur(s)R1R2C1C2s?(R1C1?R2C2?R1C2)s?1比较两系统的传递函数，如果设R1?1k1,R2?1k2,C1?f1,C2?f2,则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。
2-3 求下图所示各有源网络的传递函数
Uc(s)。 Ur(s)名师整理 优秀资源
解： (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出
Uc(s)R??2
Ur(s)R11(b) Uc(s)C2s(1?R1C1s)(1?R2C2s)
????1Ur(s)R1C2sR1?C1s1R1?C1sR2?1Cs1R2?U(s)R2Cs????(c) c Ur(s)R1R1(1?R2Cs)R2?
2-4 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 c(t)?1?2e位脉冲响应和传递函数。 解
k(t)??2t?e?t，试求系统的单
dc(t)?4e?2t?e?t dt413s?2?? s?2s?1(s?1)(s?2)?(s)?L[k(t)]?
2-5 系统传递函数
C(s)2?(0)?0时系统在输?2，试求初始条件为c(0)??1、cR(s)s?3s?2入r(t)?1(t)作用下的输出c(t)。
?(0)?0时，由??(t)?3c?(t)?2c(t)?2r(t)得 c解： c(0)??1,c?(0)?3sC(s)?3c(0)?2C(s)?2R(s) sC(s)?sc(0)?c22?s2?3s142??? 代入初始条件得：C(s)?
s(s?1)(s?2)ss?1s?2 c(t)?1?4e?t?2e?2t
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2-6 飞机俯仰角控制系统结构图如图所示，试求闭环传递函数Qc(s)Qr(s)。
解： 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数
Qc(s)0.7(s?0.6)?3 Qr(s)s?(0.9?0.7K)s2?(1.18?0.42K)s?0.682-7 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数
?X1(s)?G1(s)R(s)?G1(s)[G7(s)?G8(s)]C(s)?X( s)?G(s)[X(s)?G(s)X(s)]?22163? X(s)?[X(s)?C(s)G(s)]G(s)3253???C(s)?G4(s)X3(s)C(s)。 R(s)解： 系统结构图如下：
利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为
G1G2G3G4C(s)? R(s)1?G2G3G6?G3G4G5?G1G2G3G4G7?G1G2G3G4G82-8 试用结构图等效变换法化简下图所示系统，并求各系统的传递函数
解： （a）
C(s)。 R(s)
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所以： （b）
G1G2G3G4C(s)? R(s)1?G1G2?G3G4?G2G3?G1G2G3G4
所以：
C(s)G1?G2? R(s)1?G2H （c）
所以：
G1G2G3C(s)? R(s)1?G1G2?G2G3?G1G2G32-9 试用梅逊增益公式求下图中各系统的闭环传递函数。
解： （a）图中有1条前向通路，4个回路
P1?G1G2G3G4，?1?1
L1?G2G3H1，L2??G1G2G3H3，L3?G1G2G3G4H4，L4??G3G4H2，??1?(L1?L2?L3?L4)
G1G2G3G4C(s)P1?1?? R(s)?1?G2G3H1?G1G2G3H3?G1G2G3G4H4?G3G4H2（b）图中有4条前向通路，5个回路
P1??G1，P2?G1G2，P3?G2，P4?G2G1，
L1?G1，L2??G1G2，L3??G2，L4??G2G1，L5??G1G2，
?1??2??3??4?1，??1?(L1?L2?L3?L4)，
第二章控制系统的数学模型习题及答案
