?y1＋2??y2＋2?
∴2＋2＝＋ 22
k1k24y14y2
1
1
?y1＋2?y2＋?y2＋2?y1＝ 22
4y1y2
2422222y41y2＋y2y1＋8y1y2＋4?y1＋y2?＝ 22
4y1y2
2
22
2
22
2222
8?y1＋y2?＋32＝ 16?y1＋y2?－2y1y2＋4＝ 2＋8＝ 24
2
22
k22
＝2＋4.
k112
∴2＋2－2＝4，为定值．
k1k2k
考点3 圆锥曲线中的存在性问题
y2x21
[例3] [2024·湖北宜昌调研]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为
ab2
23.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A(0,4)的直线l与椭圆C交于M，N两点，F是椭圆C上的焦点．问：是否存在直线l，使得S△MAF＝S△MNF？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
c1222
【解析】 (1)由题可得＝，b＝3，又a＝b＋c，
a2
∴a＝4，b＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)由题可知直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋4，M(x1，y1)，
2
2
y2x2
N(x2，y2)，
y＝kx＋4，??22
联立方程，得?yx＋＝1，??43
得(3k＋4)x＋24kx＋36＝0，
22
- 6 -
?24k?x＋x＝－，②
3k＋4∴?36
xx＝??3k＋4.③
1
2
2
12
2
Δ＝?24k?2－144?3k2＋4?>0，①
∵S△MAF＝S△MNF，∴M为线段AN的中点， ∴x2＝2x1.④
将④式代入②式得x1＝－
8k，⑤ 2
3k＋4
182
将④式代入③式得x1＝2，⑥
3k＋4362
将⑤式代入⑥式得k＝.⑦
5将⑦式代入①式检验成立， ∴k＝±
65，
∴存在直线l：6x－5y＋45＝0或6x＋5y－45＝0， 使得S△MAF＝S△MNF.
求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.
『对接训练』
x2y23
3．[2024·河北石家庄教学质量检测]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且
ab2
经过点?－1，
?
?3??. 2?
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(3，0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，
- 7 -
使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解析：(1)由题意可得＝2
2
2
2
ca313
，2＋2＝1， 2a4b2
又a－b＝c，所以a＝4，b＝1. 所以椭圆C的方程为＋y＝1.
4(2)存在定点Q?
x2
2
?43?
，0?，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称． ?3?
??x＋my－3＝0，
设直线l的方程为x＋my－3＝0，与椭圆C的方程联立得?x22
＋y＝1，??4
(4＋m)y－23my－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t,0)(依题意t≠x1，t≠x2)． 23m－1
由根与系数的关系可得，y1＋y2＝2，y1y2＝2.
4＋m4＋m2
2
整理得，
直线QA与直线QB恰关于x轴对称，则直线QA与直线QB的斜率互为相反数， 所以
y1
x1－tx2－t＋
y2
＝0，即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0.
又x1＋my1－3＝0，x2＋my2－3＝0， 所以y1(3－my2－t)＋y2(3－my1－t)＝0， 整理得，(3－t)(y1＋y2)－2my1y2＝0， 23m－1
从而可得，(3－t)·2－2m·2＝0，
4＋m4＋m即2m(4－3t)＝0，
43?43?
所以当t＝，即Q?，0?时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称．
3?3?特别地，当直线l为x轴时，Q?
?43?
，0?也符合题意． ?3?
?43?
，0?，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称． ?3?
综上所述，在x轴上存在定点Q?
- 8 -
课时作业16 圆锥曲线的综合问题
12
1．[2024·河北邢台模拟]已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对22称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
x2
??2＋y＝1，1
解析：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋n.由?m1
y＝－??mx＋n，
2
x2
消
?11?22n2
去y，得?＋2?x－x＋n－1＝0.
m?2m?
1x422
因为直线y＝－x＋n与椭圆＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2n＋2＋2>0，①
m2m2
mn?1m＋2?2mn将AB的中点M的坐标?2，2?代入y＝mx＋，解得n＝－2，②
22m?m＋2m＋2?
由①②得m<－
66
或m>. 33
22
故m的取值范围是?－∞，－
??6??6??∪?，＋∞?. 3??3?
1?6??6??3?2
(2)令t＝∈?－，0?∪?0，?，则t∈?0，?.
m?2?2?2???
342
－2t＋2t＋2，
12
t＋2
|AB|＝t＋1×
2
t2＋
点O到直线AB的距离d＝设△AOB的面积为S(t)， 11
则S(t)＝|AB|·d＝ 22
1
2
t2＋1
. 2?21?2
－2?t－?＋2≤，
2?2?
1?3?22
当且仅当t＝时，等号成立，此时满足t∈?0，?.
2?2?故△AOB面积的最大值为
2
. 2
- 9 -
x2y22222
2．[2024·上海静安区模拟]设m>0，椭圆Γ：＋＝1与双曲线C：mx－y＝m的焦点
3mm相同．
(1)求椭圆Γ与双曲线C的方程；
(2)过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，
Q(P，Q不同于右顶点)，若k1·k2＝－1，求证：直线PQ的斜率为定值，并求出此定值．
解析：(1)由题意，得2m＝m＋1，所以m＝1.
所以椭圆Γ的方程为＋y＝1，双曲线C的方程为x－y＝1.
3(2)双曲线C的右顶点为(1,0)，因为k1·k2＝－1， 不妨设k1>0，则k2<0.
设直线l1的方程为y＝k1(x－1)． 由?
?y＝k1?x－1?，?
??x－y＝1，
2
2
2
x2
222
得(1－k1)x＋2k1x－k1－1＝0，
2222
k21＋1则1·xP＝2，
k1－1
k2k21＋11＋1??2k1
得xP＝2，yP＝k1?2－1?＝2.
k1－1?k1－1?k1－1k22k22＋1
同理，xQ＝2，yQ＝2，
k2－1k2－1
又k1·k2＝－1，
k2k22k2－2k12＋11＋1
所以xQ＝2＝－2＝－xP，yQ＝2＝＝yP.
k2－1k1－1k2－11－k21
因为yP＝yQ，所以直线PQ与x轴平行，即kPQ为定值0.
3．[2024·江西南昌重点中学段考]已知抛物线C：x＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点
2
M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程． 解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x－2pkx－2p＝0， 则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
(1)由x＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为∵点N在以AB为直径的圆上， 2
∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.
2
2
xpx1x222＝－， ppp - 10 -
2024版高考数学大二轮复习6.3圆锥曲线的综合问题学案(理)
