能量为 的波函数。
?0???n(x)???Asinn?x?a?n?1,2,3......
x?0,x?a （11）
0?x?an?0,n?0,??0，波函数无意义
（11）式中A可由归一化条件确定
?知：A????|?n(x)|dx??|?(x)|dx?A02a22?a0sin2n?xdx?1 a2 a最后得到能量为En的归一化波函数为：
?0???(x)???2sinn?x?a?a三、讨论（留给同学们自己做） 提示：1）关于能级 2）关于波函数 3）与经典力学比较 4）物理实质
x?0,x?a
0?x?a§2.7线性谐振子
一、粒子的势能 U(x)?1??2x2 （1） 2显然，当x???时，势能U??，可见谐振子的势能曲线亦为无限深势阱，只不过不是方势阱而已，所以粒子只能作有限的运动，即处于束缚态。 二、能力和波函数
?2d2?1定态薛定谔方程：? ???2x2??E? （2）22?dx2既然粒子处于束缚态，则要求波函数满足条件
???（3） ??x???0
下面我们就来求（2）式的满足边值条件（3）的解： 先将方程（2）简化，引进无量纲的参数
???x????? （4）
和 ??2E （5） ??则方程（2）变成：
d2?2（6） ?[???]??0 2d?首先粗略分析一下????时解的渐进行为，当?很大时，?与?相比可以忽略，方程（6）可以近似表示为：
d2? 2??2??0 （7）
d?不难证明，当????时，方程（7）的渐近解为： ??e??其中??e?22/2
/2不满足边值条件，故只能取：??e??2/2
在渐进解形式的启发下，我们令方程（6）的精解为 ??e??2/2（8） H(?)
的形式，将它代入方程（6）得：
d2HdH （9） ?2??[??1]H?0 2d?d?这就是厄密方程，解为H(?)，从而得?，但是，不是方程（9）所有形式的解都能使?满足边值条件（3），从附录Ⅱ中我们知道，只有当 ??1?2nn?0、1、2、3...... （10）
时，方程（9）才能满足要求，此时，方程的解为厄密多项式，通常认为： Hn(?)?(?1)e它是?的n次多项式，如：
H0?1H1?2?H2?4??2H3?8?2?12?2n?2dnd?2e??2 （11）
由（1）式可以得出Hn(?)满足下列递推关系：
dHn?2nHn?1(?) d?由（5）式和（10）可得一维谐振子的能量可能取值为：
1 En?(n?)??2n?0、1、2、3......
22与之相应的波函数为： ?n(x)?Nne?x?归一化因子（见附录Ⅱ）为：Nn?四、讨论（留给学生思考）
/2Hn(?x)
?n!2n?作业：第52页，2.3，2.4，2.5
2.8势垒贯穿
在2.6，2.7节中所讨论的问题，体系的势能在无限远处都是无穷大，即粒子处于束缚态，波函数在无穷远处为零，这个条件是得体系的能级是分立的，量子化的。这一节我们将论非束缚态的问题，非束缚态最简单最典型的例子是方势垒贯穿，它也明显地表露出量子效应。（注意：这类问题中，粒子的能量是预先确定的）
一、一维方势垒问题
?U0,0?x?a势能：Ux??
?0,x?a,x?0如右图所示：
设具有一定能量E的粒子沿x正方向射向方势垒，若??U0，则按经典力学理论，它必将全部在x=0处返回，不能进入势垒，现在来看量子力学会给出什么结果。
二、粒子的定态波函数（先讨论??U0）的情形
?d???? x<0 (1)2?dxd??Ⅱ: ????? 0
则（1），（2），（3）式可化为：
?1??k12?1?0x?00?x?aIII区 x<0 (5) 区 0 ?2??k22?2?0?3??k12?3?0x?aIII区 x>a (7) 方程（5），（6），（7）的通解为： ?1?Aeikx?A?e?ikx x<0 (8) 11?2?Beikx?B?e?ikx 0 22 ?3?Ceik1x?C?e?ik1x x>a (10) 当我们用时间因子乘以上面三个式子，立即可以得出?1,?2,?3中的第一项表示向右传播的平面波，第二项为向左传播的平面波，在x>a的区域，当粒子以左向右透过方势垒，不会再反射，因而Ⅲ中应当没有向左传播的波，也就是说 c??0。 下面利用波函数及其一阶微商在x=0和x=a处连续的条件来确定波函数中的其他系数。 由：?1(0)??2(0)：A?A??B?B? ?1'(0)??2'(0)：k1A?ik1A??ik2B?ik2B? ?2(a)??3(a)：Beika?B?e?ika?Ceika 221?2'(a)??3'(a)：ik2Beika?ik2B?e?ika?ik1Ceika 221可见，五个任意常数A,A?,B,B?,C满足四个独立方程，由这一组方程我们可以解得： A??22i(k12?k2)sink2a(k1?k2)2e?ik2a?(k1?k2)2eik2a A （11） 4k1k2e?ik1a C?A （12） (k1?k2)2e?ik2a?(k1?k2)2eik2a（11），（12）两式给出透射波振幅和反射波振幅与入射波振幅之间的关系。 三、几率流密度、透射系数、反射系数 1、几率流密度 ?i?入射波： J?[?????????]2?Aeik1x （注：几率流密度还可写成几率密度与粒子速度的承继，对于动量和能量确定的 ?p?k22???） 粒子，即J?2??①入射波几率流密度：（?入?Aeik1x） ??k12J?A ?②透射波几率流密度：（?透?Ceik1x） ??k2 JD?1C ?③反射波几率流密度：（?反?A?e?ik1x）
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