2003南开大学年数学分析
一、设w?f(x?y,x?y,x)其中f(x,y,z)有二阶连续偏导数，求wxy
解：令u=x+y,v=x-y,z=x则wx?fu?fv?fz；
wxy?fuu?fuv(?1)?fvu?fvv(?1)?fzu?fzv(?1)
二、设数列{an}非负单增且limann??nn?a2????a，证明lim[a1n??1nn(nan)
1nnan]?a
1nnn解：因为an非负单增，故有an?[a1?a2???an]n?由
n??liman?a；据两边夹定理有极限成立。
0,x?0?2三、设f(x)??xln(1?x),x?0试确定?的取值范围，使f(x)分别满足：
??（1） 极限limf(x)存在
x?0?（2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为
xxlimf(x)=limx?ln(1?x2)=limx?[x2????(?1)n?1?o(x2n)]极限存在则x?0x?0x?02n??42n?2+??0知???2
??2
x?0?(2)因为limf(x)=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则??(0)（3）f?2?0所以要使f(x)在0可导则???1
四、设f(x)在R连续，证明积分?f(x2?y2)xdx?ydy与积分路径无关
l解；令U=x?y2则?lf(x2?y2)xdx?ydy=1?lf(u)du又f(x)在R上连续故存在F（u）
2使dF(u)=f(u)du=f(x2?y2)xdx?ydy
所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路） 五、
设
f(x)在
M[a,b]上可导，
f(a?b)?02且
f?(x)?M,证明
b2 ?af(x)dx?4(b?a)证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在
1 / 70
??(a,b)使f(x)?f(baba?ba?b)?f?(?)(x?)22即有
?f(x)dx??f?(?)(x?abaa?b)dx2a?ba?ba?ba?bMb??f?(?)(x?)dx?M[?a2(?x)dx??a?b(x?)dx]?(b?a)222242六、设{an}单减而且收敛于0。
a) 证明
?ansinn发散
?ansinn收敛
un?1n??vnlim其中
b) 证明
un??(aksink?aksink)；
vn??(aksink?aksink)
证：（1）因为
?sink?11sin2而{an}单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知
?ansinn收敛
（2）因为正项级数
?ansinn发散则?aksink??(n??)又由上题知
un?1
n??vn证明
?aksink有界故有lim七、设F(t)?????txe1sinxdx x???txe（1）1?sinxdx在[0,??)一致收敛 x（2）F(t) 在[0,??)连续
??sinxdx收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又
1证：（1）因
?xe?tx在
收敛
x>=1,t>=0 单调且一致有界0?e?tx?1(?x?1,t?0)由阿贝尔判别法知一致
2 / 70
（2）?t0敛，且由e?[0,??),??,??0使t0?[?,?]由上题知，F（t）在[?,?]一致收
?txsinx在（x,t）?[1,??)?[?,?]上连续知F（t）在[?,?]连续所以在xt0连续，由t0的任意性得证
八、令{fn(x)}是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意x0?[a,b]{fn(x0)}是一个有界数列 （
2
）
对
任
意
??0，存在一个
??0,当x,y?[a,b]且x?y??时，对一切自然数n,有fn(x)?fn(y)??求证存在一个子序列{fnk(x)}在[a,b]上一致收敛
证：对任意x?[a,b]，{fn(x)}是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为{fnk(x)}，又令U={u(x,?x)x?[a,b]}则U为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖
1定理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为u(x1,?x于是对
)?u(xm,?x)
m???0,能找到一N>0，
?nk,nk?N，?xi,(i?1,2,?,m)121m有
fn(xi)?fn(xi)?k2k2?3令
??min{?x,?,?x}则由条件（2）知对上述
???0
???0,?x?[a,b],?xl使x?xl??，对一切自然数n,有fn(x)?fn(xl)?于是???3?0,?K?0,?k,t?K有nk,nt?N,?x?[a,b],?xl?[a,b]有
kttlkkkfn(x)?fn(x)?fn(x)?fn(xl)?fn(xl)?fn(xl)?fn(xl)?fn(x)t?fn(x)?fn(xl)+fn(xl)?fn(xl)+fn(xl)?fn(x)??由柯西准则得
ttlkkk证。
2004年南开大学数学分析试题答案
3 / 70
数学分析_各校考研试题及答案
